Utilizar el método de Horner

Question

Estoy tratando de evaluar un polinomio recursivamente usando El método de Horner.

Es bastante sencillo cuando tengo todos los valores de $x$ (como: $x+x^2+x^3...$ ), pero ¿y si me falta alguno? Ejemplo: $-6+20x-10x^2+2x^4-7x^5+6x^7$ .

También agradecería que alguien explicara el método con más detalle, he utilizado la descripción aquí se encuentra la lista pero me gustaría tener alguna explicación más.

Answer 1

$6x^7-7x^5+2x^4-10x^2+20x-6$ =

$6x^7+0x^6-7x^5+2x^4+0x^3-10x^2+20x-6$

El método consiste esencialmente en empezar por el coeficiente de la mayor potencia, multiplicar por $x$ y añadir el siguiente coeficiente. Detente cuando añadas el coeficiente constante.

Así que los pasos en la iteración van:

$6$

$6x[+0]$

$6x^2-7$

$6x^3-7x+2$

$6x^4-7x^2+2x[+0]$

$6x^5-7x^3+2x^2-10$

$6x^6-7x^4+2x^3-10x+20$

$6x^7-7x^5+2x^4-10x^2+20x-6$

Confía en que esto ayude

Answer 2

El método o forma de Horner también se denomina a veces forma anidada. Se puede pensar en ella como si se comenzara con el polinomio completo $$6x^7-7x^5+2x^4-10x^2+20x-6,$$ dejando de lado el término constante (si es cero, puedes dejar de lado un cero aquí) y factorizando un $x$ de los términos restantes $$(6x^6-7x^4+2x^3-10x+20)x-6,$$ y luego repetir el proceso para el polinomio más interno (la parte que aún no está completamente anidada: $$((6x^5-7x^3+2x^2-10)x+20)x-6$$ $$(((6x^4-7x^2+2x)x-10)x+20)x-6$$ $$((((6x^3-7x+2)x+0)x-10)x+20)x-6$$ $$(((((6x^2-7)x+2)x+0)x-10)x+20)x-6$$ $$((((((6x)x-7)x+2)x+0)x-10)x+20)x-6$$ $$(((((((6)x+0)x-7)x+2)x+0)x-10)x+20)x-6$$

Alternativamente, si su polinomio es $$p(x)=\sum_{k=0}^{n}a_kx^k=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0,$$ que se te ocurra $p(x)$ en forma anidada como $p_0$ donde $p_n=a_n$ y $p_{k-1}=p_kx+a_{k-1}$ . Es decir, empezar con el coeficiente principal ( $a_n$ ). Multiplicar por $x$ y añadir el siguiente coeficiente (añadiendo un cero para rellenar las potencias "perdidas" de $x$ ), repitiendo hasta que haya añadido el término constante ( $a_0$ ). Volvamos al mismo ejemplo: $$\begin{align} p_7&=6\\ p_6&=(6)x+0\\ p_5&=((6)x+0)x-7\\ p_4&=(((6)x+0)x-7)+2\\ p_3&=((((6)x+0)x-7)+2)x+0\\ p_2&=(((((6)x+0)x-7)+2)x+0)-10\\ p_1&=((((((6)x+0)x-7)+2)x+0)-10)+20\\ p_0&=(((((((6)x+0)x-7)+2)x+0)-10)+20)-6 \end{align}$$

Answer 3

También se puede llevar a cabo en una tabla de división sintética. Suponga que quiere evaluar $f(x) = x^4 - 3x^2 + x - 5$ para $x = 3$ . Configure una tabla como la siguiente

              1    0     -3    1     5
          3
             -------------------------
              1

Ahora multiplica el número de la parte inferior y suma de la siguiente manera.

              1    0     -3    1     5
          3        3
             -------------------------
              1    3

Trabaja de esta manera.

              1    0     -3    1     -5
          3        3      9   18    57
             -------------------------
              1    3      6   19    52

Tenemos $f(3) = 52$ . Hagamos una comprobación

$$f(3) = 81 -3*9 + 3 - 5 = 54 - 2 = 52.$$ $$f(3) = 54 - 2 = 52.$$

Esta es una forma limpia y tabular de ver cómo funciona el método de Horner.