cómo entender el producto tensor canónica de la línea de paquete de $\otimes$ doble paquete

Question

Supongamos que tenemos una superficie de Riemann $M$ junto con un holomorphic vector paquete de $E \to M$ de rango n. deje $K$ el valor de la canónica de la línea de paquete y deje $E^*$ denotar el doble paquete

Estoy tratando de entender el producto tensor $K \otimes E^*$.

Tengo un montón de problemas, porque tengo que hacer esto por mi cuenta y mi experiencia en la geometría diferencial y álgebra multilineal no es fuerte.

Trataré de explicar cómo describiría $K \otimes E^*$ a nivel local, si alguien pudiera comentar sobre lo que va mal que sería sumamente útil!

La canónica bundle $K$ a través de una superficie de Riemann $M$ es la cotangente paquete, o el paquete de holomorphic $1$-formas. En coordenadas locales, $(z,\overline{z})$ un elemento de $K$ puede ser escrito como $$ \omega = \frac{i}{2} f\,dVol_h $$ donde $f$ es un holomorphic de la función en $M$ (o al menos definidos localmente) y $dVol_h = \frac{i}{2}\, h dz\wedge d\overline{z}$, el elemento de Volumen inducida por la métrica $h\,dz\,d\overline{z}$ $M$ (aquí de nuevo $h$ es un holomorphic de la función en $M$).

Pregunta 1: ¿Es esta una manera correcta para describir la canónica paquete localmente ?

El doble paquete de $E^*$ puede ser descrito localmente se les da la opción de base $\{e_1,\dots, e_n\}$ para el lote $E$. Tomamos la base dual $\{\phi^1,\dots\phi^n\}$ (por lo $\phi_k (e_l) = \delta^k_l$) y escribir $$ \sigma = \sum^n_{k = 1} g_k\,\phi_k $$ donde el coeficients $g_k$ son holomorphic funciones definidas localmente en $M$.

Pregunta 2: es esta descripción suficiente ? tengo miedo de la localidad de lo que quiero mostrar es que no se enfatiza lo suficiente, pero no estoy seguro de cómo las coordenadas locales $(z,\overline{z})$ a un parche $V \subset M$ (por ejemplo) deben ser mencionados aquí. necesito invocar coordenadas locales en $E$, o esto se hace mediante la especificación de la base?

Por lo tanto, el paquete de $K \otimes E^*$ se compone de tensor de campos que han descripción local $$ \omega \otimes \sigma = \sum^n_{k = 1} (\frac{i}{2}\h\f\,g_k)\, dz \wedge d\overline{z} \otimes \phi_k $$

Pregunta 3: ¿esta fórmula hace sens ? Yo soy "muy seguro" aquí tengo una cuña de producto y un tensor símbolo y no sé cómo escribir esto de una manera correcta. A continuación voy a tratar de entender un objeto, tal vez mis últimas líneas regalar más de mi malentendidos:

un elemento en $K \otimes E^*$ se puede interpretar como un mapa de $TM \otimes E \to \mathbb{C}$. alternativamente, también podemos pensar en ello como algo que puede ser integrado, que equivaldría a una contracción del tensor.

Pregunta 4: ¿estas interpretaciones de sentido ? cómo iba yo a escribir como las definiciones rigurosas?

Muchas gracias por los comentarios y ayuda!!!

Answer 1

Su primer y el error más grande es que usted parece ser la mezcla de reales y complejas dimensiones. Una superficie de Riemann es una $2$-dimensiones reales del colector, sino como un complejo colector de es $1$-dimensional. Por lo tanto, usted tiene un solo local complejo coordinar $M$, es decir,$z$. Las coordenadas locales son no $(z, \bar{z})$.

Hay más de la estructura de la tangente paquete de $M$ y el bulto de $k$formularios en $M$. Aquí está la imagen general. Deje $X$ $2n$- dimensiones complejo múltiple de admisión, y considerar la posibilidad de coordenadas locales,$(x_1, \dots, x_n, y_1, \dots, y_n)$. El uso de la compleja estructura de la tangente paquete (que denotamos $i$) podemos definir localmente campos vectoriales $$\frac{\partial}{\partial z_j} = \frac{1}{2} \left(\frac{\partial}{\partial x_j} - i \frac{\partial}{\partial y_j} \right),$$ $$\frac{\partial}{\partial \bar{z}_j} = \frac{1}{2} \left( \frac{\partial}{\partial x_j} + i \frac{\partial}{\partial y_j} \right).$$ También localmente tienen la base dual de $1$formas de $$dz_j = dx_j + i ~dy_j,$$ $$d\bar{z}_j = dx_j - i ~dy_j.$$ Entonces tenemos una división de la cotangente del paquete $$T^\ast M = \Lambda^{1,0} T^\ast M \oplus \Lambda^{0,1} T^\ast M,$$ donde pointwise $\Lambda^{1,0} T^\ast M$ es atravesado por la $dz_j$ $\Lambda^{0,1} T^\ast M$ es atravesado por la $d\bar{z}_j$. De manera más general, tenemos la división de $$\Lambda^k T^\ast M = \Lambda^{k,0} T^\ast M \oplus \Lambda^{k-1, 1} T^\ast M \oplus \cdots \oplus \Lambda^{1, k-1} T^\ast M \oplus \Lambda^{0,k} T^\ast M,$$ donde para $p + q = k$, $\Lambda^{p,q} T^\ast M$ es atravesado pointwise por la $dz_{j_1} \wedge \cdots \wedge dz_{j_p} \wedge d\bar{z}_{j_{p+1}} \wedge \cdots \wedge d\bar{z}_{j_k}$. Secciones de $\Lambda^{p,q} T^\ast M$ son llamados a$(p,q)$-formas, secciones de $\Lambda^{k,0} T^\ast M$ son llamados holomorphic $k$-formasy secciones de $\Lambda^{0,k} T^\ast M$ son llamados antiholomorphic $k$-formas.

En una superficie de Riemann, la canónica paquete es un paquete de holomorphic $1$-formas, es decir, $$K = \Lambda^{1,0} T^\ast M.$$ Por lo tanto, en términos de un local de coordenadas $z$, una sección de $\alpha$ $K$ es descrito por $$\alpha(z) = f(z) ~dz$$ para algunos holomorphic función de $f$. Su expresión de la forma $$\omega = F ~dz \wedge d\bar{z}$$ sería localmente describir una sección de $\Lambda^{1,1} T^\ast M$, no un holomorphic $1$-forma.

Su descripción local está más cerca de ser ok. Aquí dejo $\{e_1, \dots, e_n\}$ ser un local de marco para $E$, es decir, un conjunto de $n$ secciones locales que forman una base para cada fibra, $E_z$ $E$ $z$ en nuestro coordinar barrio. A continuación, $\{\phi_1, \dots, \phi_n\}$ sería el doble marco definido por $$\phi_i(z)(e_j(z)) = \delta_{ij}$$ para todos los $z$ en nuestro coordinar barrio. A continuación, localmente una sección de $\sigma$ $E^\ast$ se vería $$\sigma(z) = \sum_{k = 1}^n g_k(z) ~\phi_k(z) \tag{$\ast$}$$ para cada una de las $z$ en nuestro coordinar barrio.

Poner los anteriores juntos, una sección de $K \otimes E^\ast$ es una combinación lineal de las secciones del formulario de $\alpha \otimes \sigma$ donde $\alpha$ es una sección de $K$ $\sigma$ es una sección de $E^\ast$, y a nivel local de un $\alpha \otimes \sigma$ parece $$(\alpha \otimes \sigma)(z) = \sum_{k = 1}^n f(z)g_k(z) ~dz \otimes \phi_k(z)$$ para cada una de las $z$ en nuestro coordinar barrio.

Si $TM$ es el total de holomorphic tangente paquete de $M$, entonces la sección $\alpha \otimes \sigma$ $K \otimes E^\ast$ puede ser considerado como un mapa de secciones de $TM \otimes E$ a el espacio de holomorphic funciones en $M$ como sigue. Deje $\alpha \otimes \sigma$ tiene la forma $(\ast)$ determinado anteriormente. Una sección de $TM \otimes E$ es una combinación lineal de las secciones del formulario de $v \otimes s$ donde $v$ es una sección de $TM$ $s$ es una sección de $E$. A nivel local, tenemos $$(v \otimes s)(z) = \left( a(z) \frac{\partial}{\partial z} + b(z) \frac{\partial}{\partial \bar{z}} \right) \otimes \left( \sum_{j = 1}^n h_j(z) ~e_j(z) \right).$$ Entonces tenemos \begin{align*} (\alpha \otimes \sigma)(v \otimes s)(z) & = \alpha(v)(z) \sigma(s)(z) \\ & = f(z) ~dz\left( a(z) \frac{\partial}{\partial z} + b(z) \frac{\partial}{\partial \bar{z}} \right) \sum_{k = 1}^n g_k(z) ~\phi_k(z) \left( \sum_{j = 1}^n h_j(z) ~e_j(z) \right) \\ & = f(z) \left( a(z) \cdot 1 + b(z) \cdot 0 \right) \sum_{k = 1}^n \sum_{j = 1}^n \delta_{kj} g_k(z) h_j(z) \\ & = f(z)a(z) \sum_{k = 1}^n g_k(z)h_k(z). \end{align*} Cuando se considera más de un solo punto, vemos cómo asignar un elemento de $TM \otimes E$ $\Bbb C$utilizando un elemento de $K \otimes E^\ast$.