Encuentra las raíces de la ecuación $x^2-[x]=4$, donde $[x]$ es el entero más grande menor o igual a $x$.

Question

Demuestra que no existe ningún número racional $x$ que satisfaga la ecuación $x^2-[x]=4$. Encuentra las raíces de la ecuación $x^2-[x]=4$ donde $[x]$ es el entero más grande menor o igual a $x$.

Intenté resolver esta ecuación pero me quedé atascado.

Para la primera parte supuse que $x=\frac{p}{q}$ es la solución de la ecuación. $$\frac{p^2}{q^2}-4=\left[\frac{p}{q}\right]$$ Ahora el LHS es racional y el RHS es un entero. Por lo tanto, nuestra suposición es incorrecta. Hay una contradicción. Por lo tanto, sus raíces no son racionales. $x^2-4=[x]\implies (x-2)(x+2)=[x]$

¿Cómo debo seguir adelante? Por favor, guíame. Sus raíces son $-\sqrt2,\sqrt6$.

¿Es correcto mi método de resolver la primera parte?

Answer 1

Escribe $x = [x] + \varepsilon$. Entonces estás intentando resolver

$$n^2 + 2\varepsilon n + \varepsilon^2 - n - 4 = 0$$

Para un valor entero de $n$ y algún $\varepsilon \in [0,1)$. Utilizando la fórmula cuadrática, podemos expresar $\varepsilon$ en términos de $n$, $$\varepsilon^2 + (2n)\varepsilon + [n^2 - n - 4]= 0$$ $$\varepsilon = \frac{-2n ± \sqrt{4n^2 - 4(n^2 - n - 4)}}{2} = -n ± \sqrt{n+4}$$

Entonces ahora queremos encontrar los valores de $n$ donde

$$-n + \sqrt{n+4} \in [0,1)$$ o $$-n - \sqrt{n+4} \in [0,1)$$

Intentemos el primer caso, es decir, encontrar $n$ tal que $-n + \sqrt{n+4} \in [0,1)$. Ambas condiciones a continuación deben cumplirse para una solución: $$-n + \sqrt{n+4} \geq 0 \quad\text{ y } -n + \sqrt{n+4} < 1\quad$$

Probamos con valores pequeños de $n\geq -4$,

$$\begin{array}{c|cccc} n & -4 & -3 & -2 & -1 & 0 & 1 & 2 & 3\\ \hline -n+\sqrt{n+4} & 4 & 4 & 2+\sqrt{2} & 1+\sqrt{3} & 2 & -1+\sqrt{5} & \color{red}{-2+\sqrt{6}} & -3+\sqrt{7} \end{array}$$ No es necesario verificar $n<-4$ ya que $\sqrt{n+4}$ no estará definido, y no es necesario verificar $n>3$ ya que la brecha solo se amplía. ($-n + \sqrt{n+4}$ está disminuyendo para $n>3$).

entonces $n=2$ es la única solución para el primer caso, con $\varepsilon=-2+\sqrt{6}$ y $x=\sqrt{6}$.

De manera similar para el segundo caso, necesitamos

$$-n - \sqrt{n+4} \geq 0 \quad\text{ y } -n - \sqrt{n+4} < 1\quad$$

$$\begin{array}{c|cccccc} n & -4 & -3 & -2 & -1 & 0 \\ \hline -n-\sqrt{n+4} & 4 & 2 & \color{red}{2-\sqrt{2}} & 1-\sqrt{3}& -2 \\ \end{array}$$ No es necesario verificar $n\le-4$ o $n>0$, por razones similares al primer caso. Por lo tanto, las únicas dos soluciones para todo el problema son

$$x=-\sqrt{2},\sqrt{6}.$$

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Respecto al resto de la pregunta como en tu edición:

Tu prueba está incompleta. ¡Un entero también es racional! Si $p/q$ es una solución, entonces de hecho obtenemos $\frac{p^2}{q^2} - 4 = \left[\frac{p}{q}\right]$, pero esto en sí no es una contradicción. Solo significa que $q^2=1$. Por lo tanto, la ecuación se reduce a

$$p^2 - p - 4 = 0, \quad p\in\Bbb Z$$ Pero por supuesto, las únicas soluciones reales a esto son $\frac{1± \sqrt{1+16}}{2}$ que no son enteros.

Answer 2

Este parece ser un problema extraño.

Tenga en cuenta que $[x] \le x$, entonces $x^2 - [x] = 4$ implica $x^2 - x \le 4$, por lo tanto $\displaystyle x\le \frac{1-\sqrt{17}}2\approx -1.56$ o $x\ge \frac{1+\sqrt {17}}2\approx 2.56$.

Además, $[x] \ge x-1$, entonces $x^2 -[x] = 4$ implica $x^2 - (x-1) \ge 4$, por lo tanto $x$ está entre (aproximadamente) $-1.79$ y $2.79$.

Al combinar estas dos ecuaciones, nos dice que las soluciones (si es que existen) están en los intervalos $(-1.79,-1.56)$ y $(2.56,2.79)$. Por lo tanto, puede haber una solución donde $[x]=-2$ y otra donde $[x]=2$.

Ahora desglosamos en casos: Si $[x]=-2$, entonces $x^2-(-2)=4$, la cual tiene dos soluciones ($\pm\sqrt2$). Sin embargo, solo una de estas soluciones ($-\sqrt2$) redondea hacia abajo a $-2$.

De manera similar, si $[x]=2$, entonces $x^2-2=4$, y solo existe una solución con el entero correcto ($\sqrt6$).

Answer 3

Usando $\displaystyle \bullet \lfloor x \rfloor \leq x$

Entonces aquí dado $x^2-4 = \lfloor x \rfloor $

Así obtenemos $x^2-4\leq x\Rightarrow x^2-x-4\leq 0$

Así obtenemos $\displaystyle \frac{1-\sqrt{17}}{2}\leq x\leq \frac{1+\sqrt{17}}{2}$

Entonces obtenemos Aprox $-1.6\leq x \leq 2.55$

Entonces obtenemos $\lfloor x \rfloor =-2,-1,0,1,2$

Ahora formaremos Diferentes casos.

$\; \bullet \; $ Si $\lfloor x \rfloor = -2\Rightarrow -1.66\leq x<-1\;,$ Ponemos en $x^2-4=\lfloor x \rfloor\;,$ obtenemos $x^2-4=-2$

Así obtenemos $x^2=\left(\sqrt{2}\right)^2\Rightarrow x=\pm \sqrt{2}$

Entonces obtenemos $x=-\sqrt{2}\;,$ debido a que arriba $-2\leq x<-1$.

$\; \bullet \; $ Si $\lfloor x \rfloor = -1\Rightarrow -1\leq x<0\;,$ Ponemos en $x^2-4=\lfloor x \rfloor\;,$ obtenemos $x^2-4=-1$

Entonces obtenemos $x^2=\left(\sqrt{3}\right)^2\Rightarrow x=\pm \sqrt{3}$

Entonces no obtenemos valor real de $x$ porque arriba $-1\leq x<0$.

$\; \bullet \; $ Si $\lfloor x \rfloor = 0\Rightarrow 0\leq x<1\;,$ Ponemos en $x^2-4=\lfloor x \rfloor\;,$ obtenemos $x^2-4=0$

Entonces obtenemos $x^2=\left(2\right)^2\Rightarrow x=\pm 2$

Entonces no obtenemos valor real de $x$ porque arriba $0 \leq x<1$.

$\; \bullet \; $ Si $\lfloor x \rfloor = 1\Rightarrow 1\leq x<2\;,$ Ponemos en $x^2-4=\lfloor x \rfloor\;,$ obtenemos $x^2-4=1$

Entonces obtenemos $x^2=\left(\sqrt{5}\right)^2\Rightarrow x=\pm \sqrt{5}$

Entonces no obtenemos valor real de $x$ porque arriba $1\leq x<2$.

$\; \bullet \; $ Si $\lfloor x \rfloor = 2\Rightarrow 2\leq x<2.55\;,$ Ponemos en $x^2-4=\lfloor x \rfloor\;,$ obtenemos $x^2-4=2$

Entonces obtenemos $x^2=\left(\sqrt{6}\right)^2\Rightarrow x=\pm \sqrt{6}$

Entonces obtenemos $x = \sqrt{6}$ porque arriba $2\leq x<2.55$.

Entonces obtenemos $x=-\sqrt{2}$ y $x=\sqrt{6}$ son las únicas dos soluciones.