La forma en que entiendo el teorema del valor intermedio es la siguiente: si tienes una función f que es continua sobre un dominio $[a,b]$ entonces hay un valor $f(c)$ , donde $f(a)f(c)f(b)$ , de tal manera que $acb$ .
Esto parece evidente. Si $f$ es continua, entonces existe un $f(c)$ tal que $acb$ . ¿Pero no es esto sólo una reafirmación del hecho de que $f$ es continua?
¿No es evidente el teorema del valor intermedio para las funciones continuas?
No, el teorema del valor intermedio no es un replanteamiento de la continuidad, especialmente cuando se enuncia correctamente: si $f$ es continua en $[a,b]$ y $c$ es cualquier número real entre $f(a)$ y $f(b)$ entonces hay algo de $x_0$ entre $a$ y $b$ tal que $c=f(x_0)$ . Intenta ver la diferencia con lo que has escrito.
Para ver por qué esto no es sólo un replanteamiento de la continuidad, considere la función $$f:\mathbb{Q}\to\mathbb{R}:x\mapsto x\;,$$ donde $\mathbb{Q}$ es el conjunto de los números racionales. Esta función, considerada sólo como función sobre los racionales, es continua, $f(0)=0$ y $f(2)=2$ , pero no hay un número $p$ en cualquier lugar del dominio de $f$ y mucho menos entre $0$ y $2$ , de tal manera que $f(p)=\sqrt2$ .
Para otro ejemplo, consideremos la función $$f:\mathbb{R}\setminus\{0\}\to\mathbb{R}\setminus\{0\}:x\mapsto \frac1x\;;$$ aquí $\mathbb{R}\setminus\{0\}$ significa todos los números reales excepto $0$ . Esta función $g$ es continua en su dominio $\mathbb{R}\setminus\{0\}$ , $g(-1)=-1$ , $g(1)=1$ y $-1<\frac12<1$ pero no hay $x\in\mathbb{R}\setminus\{0\}$ tal que $-1\le x\le 1$ y $g(x)=\frac12$ .
El problema con $f$ y $g$ es que sus dominios no son conectado : intuitivamente hablando, tienen "agujeros". $\mathbb{Q}$ está lleno de agujeros, con uno en cada número irracional; $\mathbb{R}\setminus\{0\}$ sólo tiene un agujero, en $0$ .
El teorema del valor intermedio es en realidad un caso especial de un resultado más general, a saber, que si $f$ es una función continua en un conjunto conexo $A$ (lo que conectado significa en general no es realmente importante en este momento), entonces $f[A]$ también es un conjunto conexo. Los conjuntos conexos en la recta real son precisamente los intervalos, abiertos, cerrados o semiabiertos, y acotados o no. Así, si $f$ es una función continua en un intervalo $[a,b]$ la imagen de ese intervalo debe ser también un intervalo del mismo tipo; llámalo $J$ . Desde $f(a)$ y $f(b)$ están en $J$ y $J$ es un intervalo, todo lo que está entre $f(a)$ y $f(b)$ también debe estar en $J$ . Así, si elijo cualquier $c$ entre $f(a)$ y $f(b)$ Debe haber algún tipo de $x_0$ entre $a$ y $b$ tal que $c=f(x_0)$ $-$ que es exactamente lo que dice el teorema del valor intermedio.
Adoptar un punto de vista ligeramente diferente al de los demás contestatarios:
En términos de una imagen intuitiva de los números reales, como un continuo, y de una imagen intuitiva de una función continua, como aquella cuya gráfica se dibuja sin tener que levantar el lápiz del papel, el teorema del valor intermedio es intuitivamente claro.
Sin embargo, si se quiere razonar cuidadosamente sobre la noción de número real, o de función, y demostrar afirmaciones y analizar fenómenos que van más allá del teorema del valor intermedio, entonces es importante tener definiciones técnicas precisas de todos los conceptos involucrados: a saber, de los números reales, y de un función continua. El punto técnico clave en la caracterización de los números reales es su completitud (como mucha gente ha mencionado aquí), mientras que la definición técnica de continuidad es algo complicada. En mi opinión, el punto de la demostración rigurosa del teorema del valor intermedio es no principalmente para confirmar una afirmación intuitivamente obvia (aunque hay un cierto placer en hacerlo), sino más bien para (a) confirmar que las formalizaciones técnicas de los números reales y de las funciones continuas capten la intuición que pretendían; y (b) proporcionar una modelo de cómo estas formalizaciones pueden armonizarse con nuestras intuiciones. El punto (b) es muy importante, ya que las formalizaciones son tan poderosas como nuestra capacidad para manejarlas, y la intuición (para la mayoría de nosotros) proporciona la guía básica sobre cómo construir nuestros argumentos matemáticos; por lo tanto, es importante aprender a fusionar la intuición con los argumentos formales, y la construcción de pruebas formales de declaraciones intuitivamente claras es una de las mejores maneras de hacerlo.
Nótese que la prueba formal también sugiere el desarrollo de conceptos (conectividad de espacios topológicos, y su preservación bajo la formación de imágenes continuas) que van mucho más allá del teorema del valor intermedio, y se extienden a contextos en los que no había a priori intuición en absoluto. (Esta es una de las características fantásticas de las matemáticas formales: el propio formalismo, cuando se aplica en un nuevo contexto, puede proporcionar intuición). En otras palabras, podemos establecer analogías entre situaciones aparentemente muy dispares en virtud de ciertas similitudes estructurales que tienen en común).
No es auto-evidente; más bien, es una justificación para la épsilon-delta definición de "continuo"! Es el puente entre el epsilon-delta de ver el mundo que aprendemos en la universidad, y el "punto y línea" visión del mundo que conocemos desde la escuela secundaria.
Este es el contenido de dos 1-charlas de una hora, pero vamos a tratar de resumir en pocas palabras:
El problema fundamental en el cálculo puede ser considerado como:
Estimado de $f(a)$ el uso de la información acerca de $f(b)$ donde $b$ es un número cerca de $a$. (Se puede medir directamente sólo $f(b)$, pero no $f(a)$).
Así en el nivel más primitivo, antes de hablar de derivados ni nada, simplemente queremos caracterizar las funciones para las que $f(b)$ da algunos estimado de $f(a)$ a $b$ lo suficientemente cerca de $a$. Estas son las funciones para las que tenga algún tipo de sentido, incluso intentar hacer un presupuesto. Entonces, ¿cuáles son estas funciones?
En otras palabras, $f$ es continua en $un$ ($f(a)$ puede ser estimado por mirar los valores de $f$ para las entradas suficientemente cerca de los $$) si no hay un terrible crisis se produce por la función $f$ en $un$.
Bueno. ¿Cómo formalizar esta? A lo largo viene Arbos al final del siglo 18, y sugiere que la propiedad que usted necesita a la demanda es el valor intermedio de la propiedad. Esta es una buena primera aproximación a una formalización de la "continuidad", porque se ocupa de la "rotura" ("número 1"). Pero no tenga cuidado de no "temblando" ("número 2")- el topologist de la curva sinusoidal satisface el valor intermedio de la propiedad en $0$, pero no es "continua". Peor aún, es satisfecho por loco funciones como la de Conway de la base 13 de la función que sacuden tan mal que no tiene sentido tratar de estimar en cualquier lugar.
Luego, viene Bernard Bolzano, funciona epsilon-delta, y da la moderna definición de continuidad. Y, porque él es un Sacerdote Católico y no un gran y famoso matemático como Arbos, ha de sonda que su definición implica que el Valor Intermedio de la Propiedad en orden para que cualquier persona lo toma en serio. Pero, la reputación personal de Bolzano a un lado, ¿por qué, de hecho, es esta propiedad tan central?
El epsilon-delta de ver el mundo, presentadas por Bolzano, plantea que una línea es más que una conexión infinita de puntos, sino que se compone de enclavamiento epsilon-delta fuzz (usando términos más técnicos, estás imponiendo equipa la recta real con la métrica de la topología). Una manera de pensar acerca de esto es que, en realidad, nunca se sabe exactamente lo que un número real es - usted puede escribir el primer millón de millones de dígitos de pi, pero nunca todo. Así que un número real es intrínsecamente un difuso concepto, y la línea real (como un espacio topológico) se compone de enclavamiento fuzz en lugar de estar formada por puntos.
La escritura de la épsilon-delta de la construcción de una función continua (o cualquier epsilon-delta de la construcción) es dolorosa, ya que tienes todos estos cuantificadores anidados para lidiar con la tolerancia (para cualquier epsilon existe delta tal que para cualquier x entre bla bla bla). No es el lenguaje humano - se parece más a algún tipo de terrible código de computadora. Por otro lado, el valor intermedio de la propiedad está hablando acerca de los puntos. Se dice que existe un punto c entre $a$ y $b$ que bla bla bla.
Remate: El teorema del valor intermedio es el puente entre fuzz mundo y punto del mundo.
Todos los demás puente entre la pelusa del mundo y punto-mundo pasa a través de él (todos los que se aprenden en los preuniversitarios de cálculo de hacer de todos modos). Así que no es del todo obvio... es la declaración de que el horriblemente complicado no humana-idioma epsilon-delta del lenguaje que capta todas las propiedades de una función continua que desea, y luego algunos. Es la declaración de que el enrevesado no intuitivo epsilon-delta formalismo pasa a ser uno de los cuales capta su intuición geométrica. Lo sorprendente es que!
Formalmente, el teorema del valor intermedio es una consecuencia de la integridad de los reales, lo que equivale a la afirmación de que la línea real no tiene agujeros microscópicos en ella, como la línea de los números racionales. Así que, de nuevo - el paso de aproximación a los puntos y de nuevo vuelve a hacer uso de la completitud de los números reales, y el teorema del valor intermedio es donde sucede eso.
El teorema del valor intermedio no es importante porque es sorprendente. Es importante porque le da a usted el puente que usted necesita para cruzar de epsilon-delta mundo a punto del mundo y de la espalda.
De todos modos, he escrito demasiado por ahora... lo Siento por este tl;dr respuesta!
Primero de todo, la declaración de que ha dado es que no se el Teorema del Valor Intermedio. De hecho, lo que has escrito es cierto para cualquier función: uno puede tomar $c = $ o $c = b$. Así que como primer paso en la comprensión de estos "grandes teoremas" en el cálculo, usted necesita ser muy cuidadoso para asegurarse de obtener las declaraciones correctas.
(A menudo, cuando me enseñan estudiante de primer año de cálculo pido declaraciones de teoremas como el de IVT en exámenes parciales. Nunca deja de sorprenderme cómo a menudo los estudiantes llegar a estas preguntas mal, aunque he de largo ya que vienen a decirles que tres o cuatro teoremas que deberían haber memorizado para cualquier examen. Creo que parte del problema es que, dado que ellos no entienden el enunciado del teorema de, al menos no directamente en términos del análisis de la sentencia, sino que puede tener una imagen mental que ellos piensan que la frase corresponde a: es muy difícil para ellos para saber si se están reproduciendo la declaración correctamente o no. Todavía me resulta sorprendente que su memorización habilidades no son más fuertes, dado que estas habilidades están siendo probados en un nivel bastante alto en ciertas otras clases en la universidad. Es un poco misterioso...)
Pero, no, la afirmación correcta es no cerrar del todo a la definición de continuidad. Es sin embargo muy cerca de la áspera idea intuitiva de que usted puede tener de continuidad...pero eso no los hace IVT obvio! Más bien, se convierte en una muy importante teorema, que asegura que una definición formal de capturas de ciertos elementos de la intuición que condujeron a ella.
De todos modos, en septiembre de 2011 un artículo corto por S. Pie fue publicado exactamente esto: el título es "El Teorema del Valor Intermedio No es Obvio-y yo Voy a Demostrar a Usted". Se los recomiendo.
Se puede definir la continuidad en los números racionales, $\mathbb Q$ utilizando la misma definición que se utiliza para las funciones reales.
Pero si se define $f(x)=0$ si $x^2<2$ y $f(x)=1$ si $x^2>2$ entonces se puede demostrar que esta función es continua en todos los racionales. Esta función es continua en los números racionales precisamente porque $\sqrt 2$ no es un número racional.
El "teorema del valor intermedio", entonces, no es cierto para los racionales.
Básicamente, existe una propiedad, la completitud, de los números reales que hace imposible este tipo de cosas para las funciones continuas definidas sobre ellos. Esencialmente no hay "huecos" en los números reales. "¿Obvio?" No lo creo.
Una forma de enunciar esta propiedad es que cualquier subconjunto no vacío de los números reales que esté acotado por encima tiene un "mínimo límite superior", también conocido como supremum.
Para demostrar el teorema del valor intermedio, dejemos que $a<b$ y $f$ una función continua con $f(a)<f(b)$ . Sea $C\in(f(a),f(b))$ . Sea $U=\{x:f(x)<C\}$ . Entonces $U$ es un subconjunto no vacío de los números reales y todos los elementos de $U$ son inferiores a $b$ Así que $U$ está acotado por encima. Resulta que se puede demostrar el supremum de $U$ es un valor tal que $f(x)=C$ .
[Hay un sentido en el que los reales irracionales pueden verse como el conjunto de funciones onto no decrecientes de $\mathbb Q \rightarrow \{0,1\}$ que son continuas como funciones sobre los racionales].
I-Ciencias es una comunidad de estudiantes y amantes de la ciencia en la que puedes resolver tus problemas y dudas.
Puedes consultar las preguntas de otros usuarios, hacer tus propias preguntas o resolver las de los demás.
