Dos definiciones de la ramificación de los grupos, ¿por qué son equivalentes?

Question

Deje $L|K$ ser un finita de galois de la extensión y supongamos que $v_k$ es un discreto normalizado (no de arquímedes) la valoración de $K$ positivos residuo de campo característica $p$, $v_K$ admite una única extensión de $w$$L.$, dejemos $\mathcal{O}_L$ ser la valoración anillo de $w.$Denotar $v_L = ew$ de los asociados normalizado de valoración de $L$ $\mathcal{B}$ el ideal maximal de a$\mathcal{O}_L.$, Entonces se puede definir, para cualquier real $i \geq 1$ $i$th ramificación grupo

$$G_i = \{\sigma \in \operatorname{Gal}(L|K) : v_L(\sigma(x)-x) \geq i+1, \forall x \in \mathcal{O}_L\}.$$

Por otro lado, para el campo de extensión de la $L|K$ se puede definir la ramificación del grupo $R$ $$R = \{\sigma \in \operatorname{Gal}(L|K) : \sigma(x)/x-1 \equiv 0 \pmod{\mathcal{B}} , \forall x \in L^*\}.$$

La reclamación que he visto es entonces que $G_1= R$, pero me parece que no puede demostrarlo. Esto debe ser muy elemental, pero he fracasado. Ninguna de las soluciones sería más que bienvenido!

Editar

He editado un error anterior, que dio la definición incorrecta de $R.$, en Lugar de ser $\equiv 0$ $\equiv 1.$

Answer 1

Para desbloquear este, creo que tres claves será suficiente. La primera es observar que ambos grupos están contenidas en $G_0$, lo que, a partir de su definición, es el conjunto de todos los $\sigma\in\mathrm{Gal}^L_K$ que la ley de trivialmente en el residuo de campo $\kappa=\mathscr O_L/\mathcal B$.

La segunda clave es casi tan simple: configure $\varphi\colon G_0\times L^*\to\kappa^*$,, por $\sigma\in G_0$ y $x\in L^*$, $\varphi_\sigma(x)=\sigma(x)/x\pmod{\mathcal B}$. Fijo $\sigma\in G_0$, esto es claramente un homomorphism de $L^*$ a $\kappa^*$, y también es evidente que las unidades de $\mathscr O_L$ está contenida en el núcleo, por la definición de $G_0$. Por lo tanto $\varphi_\sigma$ induce un homomorphism de la cíclico grupo $L^*/\mathscr O^*$ a $\kappa^*$, que es el trivial mapa si y sólo si $\varphi_\sigma(\pi)=1$ donde $\pi$ es un primer elemento de $\mathscr O_L$, es decir, un generador de $\mathcal B$.

Por lo que su $R$ se define como el conjunto de todos los $\sigma\in G_0$ tal que $\varphi_\sigma(x)=1$ todos los $x\in L^*$; de acuerdo a lo anterior, este es el conjunto de todos los $\sigma\in G_0$ tal que $\varphi_\sigma(\pi)=1$. Pero esta condición es que el $v_L(\sigma(\pi)/\pi-1)\ge1$, en otras palabras, que el $v_L(\sigma(\pi)-\pi)\ge2$.

Ahora es el momento para la tercera clave: Si $F$ es el campo fijo de $G_0$, $F$ es unramified $K$, e $L$ es totalmente ramificado $F$, por lo que en particular cada elemento de a $\mathscr O_L$ es congruente modulo $\mathcal B$ a un elemento de $\mathscr O_F$. Ahora, para $z\in\mathscr O_L$, vamos a $z=\zeta+\pi\xi$, $\zeta\in\mathscr O_F$ y $\xi\in\mathscr O_L$. A continuación,$v_L(\sigma(z)-z)=v_L(\sigma(\pi\xi)-\pi\xi)\ge2$. por lo tanto, la condición de $\sigma$ que $v_L(\sigma(\pi)-\pi)\ge2$ es equivalente a la condición de que $v_L(\sigma(z)-z)\ge2$ todos los $z\in\mathscr O_L$, que es la condición que $\sigma\in G_1$.