Integral infinita de funciones trigonométricas

Question

Estoy interesado en encontrar la Integral: $I = \int\limits_{0}^{\infty} \sin x \,dx$ . Claramente ir por el camino convencional $I = -\cos (\infty) + \cos(0)$ no conducirá a una respuesta definitiva. Sin embargo, he pensado en el problema de una manera diferente. En primer lugar, ya sabemos por la transformada de Fourier que $ \int\limits_{-\infty}^{\infty}\exp \left(i \omega t\right) \, dt = 2 \pi \delta\left(\omega \right) $ . Así, al establecer $\omega = 1$ tenemos $ \int\limits_{-\infty}^{\infty}\cos \left(t\right) \, dt = 0$ . Pero sabiendo que $\cos(t)$ es incluso en $t$ así, $ 0 = \int\limits_{-\infty}^{\infty}\cos \left(t\right) \, dt = 2 \int\limits_{0}^{\infty}\cos \left(t\right) \, dt \Rightarrow \int\limits_{0}^{\infty}\cos \left(t\right) \, dt = 0$ .

Consideremos ahora la transformación $u = t + \frac{\pi}{2}$ Así pues, tenemos $0 = \int\limits_{\frac{\pi}{2}}^{\infty}\cos \left(u - \frac{\pi}{2}\right) \, du = \int\limits_{\frac{\pi}{2}}^{\infty}\sin \left(u \right) \, du = \int\limits_{\frac{\pi}{2}}^{0}\sin \left(u \right) \, du + \int\limits_{0}^{\infty}\sin \left(u \right) \, du = \int\limits_{0}^{\infty}\sin \left(u \right) \, du -1 \Rightarrow \int\limits_{0}^{\infty}\sin \left(u \right) \, du = 1$ .

Esta solución se sustenta incluso en los resultados de la Transformada de Laplace donde tenemos $\mathcal{L} \lbrace \sin\left( t\right)\rbrace = \dfrac{1}{s^2 + 1}$ . Pero $\mathcal{L} \lbrace \sin\left( t\right)\rbrace = \int\limits_{0}^{\infty}\exp \left(-st \right) \sin \left(t \right) \, dt $

Así, $\int\limits_{0}^{\infty}\sin \left(t \right) \, dt = \lim\limits_{s \rightarrow 0} \int\limits_{0}^{\infty}\exp \left(-st \right) \sin \left(t \right) \, dt = \lim\limits_{s \rightarrow 0}\dfrac{1}{s^2 + 1} = 1$ . Por lo tanto, $\int\limits_{0}^{\infty}\sin \left(t \right) \, dt = 1$ .

Aquí estoy obteniendo exactamente el mismo resultado para la integral calculándola en dos métodos diferentes. ¿Es correcto mi trabajo? Definitivamente sé que $\sin$ no es Reimann-integrable en el intervalo $[0,\infty)$ . ¿Existe un nombre especial para esta integral, o su evaluación en este método?

Muchas gracias por sus sugerencias.

Answer 1

Una forma de regularización sensata es interpretar la integral como $$ I=\int_0^{\infty}\sin(x)\underbrace{=}_{def.}\lim_{\delta \rightarrow 0_+}\int_0^{\infty}\sin(x)e^{-\delta x} $$

Realizando ahora la integración trivalente tenemos $$ I=\lim_{\delta \rightarrow 0_+}\frac{1}{1+\delta^2}=1 $$

como sugieren sus intentos de regularización

Otro procedimiento de regularización podría ser introducido por

$$ \tilde{I}=\int_0^{\infty}\sin(x)\underbrace{=}_{def.}\lim_{\delta \rightarrow 0_+}\int_0^{\infty}\sin(x)e^{-\delta x^2} $$

Esto se puede integrar fácilmente en términos de funciones de error: $$ \tilde{I}=\lim_{\delta \rightarrow 0_+}\frac{e^{-\frac{4}{\delta}}\text{Erfi}[\frac{1}{2\sqrt{\delta}}]}{2\sqrt{\delta}}=\lim_{\delta \rightarrow 0_+}\frac{F\left(\frac{1}{2 \sqrt{\delta }}\right)}{\sqrt{\delta}} $$

donde $\text{Erfi}[x]$ es función de error del argumento imaginario y $F(x)$ es el Dawson integral que para $x\rightarrow \infty $ se comporta como $F(x)\sim \frac{1}{2x}$ y por lo tanto

$$ \tilde{I}=1=I $$

para que ambos procedimientos de regularización sean coherentes

Answer 2

Una pista: Utilice Fórmula de Euler junto con $~\displaystyle\int_0^\infty e^{-kx}~dx=\frac1k~$ para $~\Re(k)>0$ .

Answer 3

Hay muchas técnicas relacionadas para asignar valores finitos a las sumas e integrales divergentes, y a menudo coinciden en un valor. Deberías buscar los términos valor del principio de Cauchy, suma de Cesàro o el sentido de convergencia de Abel. Otras regularizaciones funcionan introduciendo un parámetro artificial, y luego tomando el límite cuando el parámetro desaparece. Esto a menudo funciona para problemas físicos en los que conceptos como "pérdida" son vanamente pequeños pero no pueden ser cero por las leyes de la termodinámica. A menudo he visto que estos enfoques de pérdida evanescente también coinciden con las técnicas de suma/integración divergente mencionadas anteriormente.

En cuanto a si esto es "correcto": se pueden idear otros esquemas que den otros valores finitos diferentes. Considere: $$ \int_0^\infty \sin(x)\;dx = \sum_{n=0}^\infty \int_{2\pi n}^{2\pi(n+1)} \sin(x)\;dx = 0+0+0\ldots = 0 $$ De hecho, estoy seguro de que podrías convencerte de que el valor de esa integral es cualquier valor, dependiendo de cómo resumas las cosas. Sin embargo, las técnicas de Fourier y Laplace tienen sus raíces en los cálculos físicos prácticos, por lo que cuando este tipo de cuestiones se plantean en aproximaciones al mundo real, éstas suelen dar resultados coherentes con las observaciones. Sin embargo, esto no hace que las matemáticas sean correctas o rigurosas.

Answer 4

Intentaré ser lo más elemental posible :

Considere la siguiente suma :

$S=\sum_{n=0}^\infty (-1)^n$

Esta suma tiene valor $1/2$ ya que si desplazamos la suma en un término y si la sumamos a sí misma entonces obtenemos $2S=1$

Ahora bien, si consideramos la gráfica de $sinx$ es periódica con periodo 2π y de $0$ a $π$ su integración es 2 y desde $π$ a $2π$ es $ -2 $ debido a la simetría en torno a $ π $ .

Así que la integral en su pregunta se reduce a $2S$ que es 1

Answer 5

Estoy interesado en encontrar la Integral: $I = \int\limits_{0}^{\infty} \sin x \,dx$

Esto es sencillo. Siguiendo Integración de Cesaro ,

$\int\limits_{0}^{\infty} \sin x \,dx=1$

y

$\int\limits_{0}^{\infty} \cos x \,dx=0$

En otras palabras, hay que restar el valor del coseno negativo en el cero (-1) del valor medio del coseno negativo en el infinito (0). Se obtiene 1.