Topología Cociente de Espacio y Homeomorphism

Question

Considerar los espacios topológicos $A \subseteq X$. Identificar el cociente del espacio de $X/A$ más familiar topológica del espacio y demostrar su homeomórficos.

$X = \mathbb{R}$ $A = \mathbb{Z}$

Mi idea era la de $X/A$ es homeomórficos a un círculo. Es esta la mejor idea? Si lo es, ¿puedo usar $f(t) = e^{2\pi i t}$?

Answer 1

Mis disculpas por mi comentario inicial: yo estaba pensando en álgebra, no topología.

Si usted identificar a $\Bbb Z$ a un punto, el abrir los intervalos entre números enteros consecutivos siguen siendo diferentes. Cada intervalo de $[n,n+1)$ es (por así decirlo) doblada alrededor en un círculo, y todos los círculos tienen un punto en común, el punto entero. Usted consigue el mismo espacio si se toma $\Bbb Z\times S^1$ donde $S^1$ es el círculo unidad, fijar un punto de $p\in S^1$, e identificar el conjunto de $\Bbb Z\times\{p\}$ a un punto. Pensar en un libro con una página para cada entero. Cortar todos los de cada página, excepto un círculo tangente a la columna vertebral del libro en el centro de la columna vertebral. El objeto resultante es tu espacio.

Agregado: Si usted hace los círculos de diferentes tamaños, también puede visualizar en el plano:

(Esta es la Wikipedia de la imagen de la hawaianas pendiente.)

Nota, sin embargo, que usted tiene que tomar esta visualización con un grano de sal: si ver es un subespacio del plano con la topología de subespacio, se encuentra que los puntos de la $x$-eje convergen al origen, mientras que los puntos en los centros de los intervalos de $[n,n+1)$ do no convergen hacia el punto en común de que el cociente $\Bbb R/\Bbb Z$. Una mejor imagen tienen de los círculos de la expansión hacia el exterior, con más y más grandes radios, en lugar de contratación hacia el interior, pero hasta ahora no he encontrado una imagen.

Answer 2

Perfecta (en el caso de topológica de los grupos y de sus cocientes).

Pero, como Chris Águila señaló en el comentario, puramente topológicamente es algo más: todos los puntos de $\Bbb Z$ se pegan a un nuevo punto , pero el resto de los puntos restantes. Así que, en ese caso, es countably infinitamente muchos círculos pegados en un punto.