Mostrando un functor que lleva a un grupo a su conjunto de subgrupos no es representable

Question

Deje $F:\text{Grp} \rightarrow \text{Set}$ ser el functor que lleva a un grupo a su conjunto de subgrupos. Supongamos $A$ es una representación de objeto, a continuación,$\text{Hom}(A,A) \simeq F(A) \Rightarrow \text{Hom}(S_{|A|},S_{|A|}) \simeq F(S_{|A|})$, es decir,

$Aut(S_{|A|}) \underset{\text{Set}}\simeq F(S_{|A|}),$ pero $Aut(S_n) = S_n$ todos los $n$ otros de $2$ $6$ $|F(S_{|A|})|>|A|!$ todos los $|A|>3$, y así obtenemos una contradicción después de la eliminación de los casos de $2,3$ $6.$

Es allí (no tiene que ser) una mejor, más estructural prueba de ello?

Answer 1

El primer problema es que hay dos posibles tales functors: uno es covariante, y su efecto en una de morfismos $G \to G'$ es tomar un par de $H \subseteq G$$f(H) \subseteq G'$. Sin embargo, también podría tomar un par de $H'\subseteq G'$$f^{-1}(H') \subseteq G$. Este es el de la derecha, en la mayoría de los contextos (por ejemplo, en la categoría de espacios topológicos, donde un par de $U\subseteq X$ podría ser un subconjunto abierto). Déjame llamar a este functor $F$.

Supongamos que hay un grupo de $\Omega$ con la propiedad de que para cualquier grupo de $H$, hay un isomorfismo natural $$\hom(H, \Omega) \simeq F(H).$$ A continuación, para cada directos límite de $\varinjlim H_i$, tenemos $$F(\varinjlim H_i) = \hom(\varinjlim H_i, \Omega) \simeq \varprojlim \hom(H_i, \Omega) = \varprojlim F(H_i).$$ En otras palabras, una representable functor toma colimits a los límites.

Pero tome $$H_i = \frac{1}{p^i}\mathbf Z/\mathbf Z, \quad H_\infty = \varinjlim H_i = \frac{1}{p^\infty}\mathbf Z/\mathbf Z \subseteq \mathbf R/\mathbf Z.$$

Los subgrupos de $H_\infty$ son todos de la forma $\frac{1}{p^n}\mathbf Z/\mathbf Z$ algunos $n\geq 0$ o de todo el grupo. Por lo tanto $F(H_\infty)$ es contable. Por otro lado, los mapas de el sistema directo de $F(H_{i+1}) \to F(H_i)$, inducida por la inclusión de $\frac{1}{p^{i}}\mathbf Z/\mathbf Z$$\frac{1}{p^{i+1}}\mathbf Z/\mathbf Z$, identificar de una manera natural con

$$\dots \to \{0,1,2\} \to \{0,1\} \to \{0\}$$

donde el mapa $\{0,1,2, \dots, i+1\} \to \{0,1, \dots, i\}$ es de $i+1$ $0$y mapas de cada uno de los elementos a sí mismo. Es fácil ver que el límite inversa de este sistema es incontable. Esto demuestra que $F$ no puede ser representable, porque $F(H_\infty)$ $\varprojlim F(H_i)$ no tienen la misma cardinalidad.