Transformada de Hilbert y la transformada de Fourier

Question

Supongamos la siguiente relación entre los Hilbert y transformadas de Fourier: $$ \mathcal{H}(f) = {\mathcal{F}^{-1}}(-i ~ \text{sgn}(\cdot) \cdot \mathcal{F}(f)), $$

donde $ \displaystyle [\mathcal{H}(f)](x) \stackrel{\text{def}}{=} \text{p.v.} \frac{1}{\pi} \int_{- \infty}^{\infty} \frac{f(t)}{x - t} ~ d{x} $.

¿Qué sucede cuando $ f(x)$ es una distribución? Sabemos que la transformada de Fourier existe para las distribuciones, pero, ¿qué acerca de la transformada de Hilbert?

Por ejemplo, tome $ f(x) = x^{n} $. Su transformada de Fourier existe como el $ n $-ésima derivada de la función delta de $ \delta(x) $. Sin embargo, la integral $$ \text{p.v.} \frac{1}{\pi} \int_{- \infty}^{\infty} \frac{x^{n}}{x t} ~ d{x} $$ es divergente. :(

Answer 1

La multiplicación por "signo" (con o sin un constante "$i$" en la frente) no mapa Schwartz funciones de Schwartz funciones, por lo que de la otra manera atractiva idea de definir un automorphism (templado?) las distribuciones por definición en (Schwartz?) las funciones de prueba de no tener éxito aquí.

Aunque en general es ... muy arriesgado... para tratar de "multiplicar" distribuciones más delicado enfoque permite la multiplicación cuando el "singular conjuntos" son disjuntas.

En el caso que nos ocupa, la multiplicación de una distribución por "signo" tendría sentido, por ejemplo, si el único apoyo no contiene $0$. Por lo tanto, una base de distribución cuya transformada de Fourier tiene singular de soporte no incluidos $0$ tiene una transformada de Hilbert.