¿Cómo puedo memorizar los axiomas de un sistema de Hilbert?

Question

Se me presenta un sistema de Hilbert con una sola regla de inferencia (MP) y estos esquemas de axiomas:

$$A \supset (B \supset A)$$ $$(A \supset (B \supset C)) \supset ((A \supset B) \supset (A \supset C))$$ $$A \supset (B \supset A \wedge B)$$ $$A \wedge B \supset A$$ $$A \wedge B \supset B$$ $$(A \supset C) \supset ((B \supset C) \supset (A \vee B \supset C))$$ $$A \supset A \vee B$$ $$B \supset A \vee B$$ $$(A \supset B) \supset ((A \supset \neg B) \supset \neg A)$$ $$\neg \neg A \supset A$$ $$\textbf{F} \supset A$$ $$A \supset \textbf{T}$$

¿Cómo se supone que voy a memorizarlos todos? En otras palabras, ¿por qué estos esquemas en particular? Creo que he visto ejemplos de que cada uno de ellos es necesario para diversas pruebas formales, pero tengo curiosidad por saber cómo se les ha ocurrido a los autores.

Answer 1

Una lista como ésta no es única. Lo que importa es que la colección de axiomas es suficiente para demostrar el teorema de completitud (que cualquier frase sin modelo puede demostrarse inconsistente usando estos axiomas y el modus ponens).

Sería posible simplemente tomar cada instancia de sustitución de una tautología como un axioma, de hecho, dando un conjunto infinito de axiomas. Sin embargo, para varios propósitos prácticos es bueno tener una lista finita que sea suficiente. Una forma de obtener dicha lista es tomar una demostración del teorema de completitud y ver qué axiomas se utilizan realmente en la demostración. Claramente, estos axiomas serán suficientes.

Dado que la elección de una lista finita es algo arbitraria, no merece la pena memorizarla, a menos que tengas que hacerlo para un examen. Siempre puedes consultar una lista cuando utilices realmente el sistema de pruebas. Por otro lado, si trabajas con un sistema concreto el tiempo suficiente, te harás una idea de qué axiomas contiene y cómo utilizarlos.

Por último, ha preguntado por el significado de $(A \to B) \to (A \to \lnot B) \to \lnot A$ . Este axioma tiene más sentido si lo descifras para obtener $((A \to B) \land (A \to \lnot B)) \to \lnot A$ . De esta forma queda más claro que se trata de un axioma de prueba por contradicción. Si, bajo el supuesto $A$ , puede probar ambas cosas $B$ y $\lnot B$ entonces este axioma permite concluir que $A$ es falso. Una pequeña ventaja de enunciarla de la forma en que está planteada es hacerla más compatible con el modus ponens.

Answer 2

Para memorizarlas, puedes reescribir primero todas las expresiones en notación polaca. Esto significa que cualquier expresión (x@y) donde @ indica cualquier operación binaria se convierte en @xy. se convierte en una "C", una "K", ¬ una "N" y una "A". A continuación, denote todas las variables como letras minúsculas de su elección (siempre que cada instancia de una letra minúscula sea sustituida uniformemente por otra letra minúscula. Así, (A(BA)) se convierte en CaCba, pero por supuesto necesitamos más que eso. Como ahora tienes letras, puedes hacer palabras con las fórmulas, o frases tontas/ridículas/absurdas con las fórmulas como mnemotecnia. Por ejemplo, para CaCba podrías usar la mnemotecnia "Llevar automóviles causa artritis mala". O podrías escribir CeCae con la mnemotecnia "Las cajas comen almejas y anguilas". Cuanto más ridículas, absurdas, escandalosas, improbables, tontas, etc. sean las palabras/sentencias que se te ocurran, mejor. Cualquier cosa que invoque los sentidos también ayudará. O al menos esa es mi experiencia y lo que dicen los libros sobre la mejora de la memoria que he leído.

Aparte de eso, recomendaría ver la respuesta de Carl Mummert.

Answer 3

(Una versión de la mnemotecnia ligeramente diferente a la de Dough Spoonwood):

¡Enciérralo! (Y luego dibujar la imagen resultante).

Tomando las abreviaturas como nombres de animales, la negación como palabras 'no'/'nunca', el conjunto como cualquier clase arbitraria (digamos celebridades) y, por supuesto, cualquier palabra que empiece por para para como símbolo de párrafo, se pueden crear frases como:

Aaarvard salta en un parapente con un toro parado en el desfile de hormigas.
El caimán paramilitar se ríe de la abeja parásita que se come un cuervo en el paraíso del paralelogramo llorando con alca paranormal sentada en un parapeto de murciélagos tiza parábola mono golpeando ganado paranoico...

Answer 4

Nómbralos.   Estos axiomas se corresponden con las reglas de inferencia de la deducción natural (aceptar estos axiomas puede justificar las reglas, o aceptar las reglas puede demostrar los axiomas).   Bueno, en su mayoría; el segundo axioma es una especie de combinación. $$\begin{array}{r:l} A \supset (B \supset A) & \text{reiteration} \\ (A \supset (B \supset C)) \supset ((A \supset B) \supset (A \supset C)) & \text{conditional elimination-and-introduction*} \\ A \supset (B \supset A \wedge B) & \text{conjunction introduction} \\ A \wedge B \supset A &\text{conjunction elimination (1)} \\ A \wedge B \supset B &\text{conjunction elimination (2)} \\ (A \supset C) \supset ((B \supset C) \supset (A \vee B \supset C))&\text{disjunction elimination } \\ A \supset A \vee B &\text{disjunction introduction (2)} \\ B \supset A \vee B &\text{disjunction introduction (1)} \\ (A \supset B) \supset ((A \supset \neg B) \supset \neg A) & \text{negation introduction} \\ \neg \neg A \supset A & \text{double negation elimination (DNE)} \\ \textbf{F} \supset A &{\text{explosion / ex falso quodlibet (EFQ)}\\\text{often written as }B\supset (\neg B\supset A)} \\ A \supset \textbf{T} & \text{struth} \end{array}$$

---

$$\begin{array}{|l}\text{}\hline \begin{array}{|l} A\supset(B\supset C) \\\hline \begin{array}{|l} A\supset B \\\hline \begin{array}{|l} A \\\hline B\supset C\\ B \\ C\end{array}\\ A\supset C\end{array}\\ (A\supset B)\supset(A\supset C)\end{array}\\(A\supset(B\supset C))\supset ((A\supset B)\supset (A\supset C)) \end{array}$$