Encontrar el límite de $(e^{2x}+1)^{1/x}$

Question

Quiero encontrar a $\lim \limits_{x\to \infty}(e^{2x}+1)^{1/x}$.

La primera cosa que pensé es que $\lim \limits_{x\to\infty}\frac{1}{x}=0$.

Así que el límite sería de $\lim \limits_{x\to \infty}(e^{2x}+1)^{1/x}= 1$, pero estoy bastante seguro de que esta no es la respuesta correcta.

Luego leí en wikipedia que puedo aplicar L'Hospital en $\infty^{0}$.

El único problema es que no sé cómo hacerlo.

¿Tengo que transformarlo en algo como $\infty^{\infty}$ o $0^{0}$?

Answer 1

Tenemos, después de tomar el logaritmo, una forma indeterminada $0\cdot \infty$ (que puede ser diferente de $0$, por ejemplo, teniendo $f(x)=1/x$ $g(x)=ax$ donde $a>0$). Escribir $\left(e^{2x}+1\right)^{\frac 1x}=e^2\left(1+e^{-2x}\right)^{\frac 1x}=e^2\exp\left(\frac 1x\ln (1+e^{-2x})\right)$, y que no tienen más de una forma indeterminada, ya que $\lim_{x\to +\infty}\frac 1x\ln (1+e^{-2x})=0$.

Answer 2

[Editar] Las otras respuestas son mucho mejores. Pero, como esta cae en un estándar de la clase de problemas en la aplicación de la regla de L'Hospital, voy a ofrecer:

Si usted tiene un $\infty^0$ forma, es indeterminado (por ejemplo,$\lim\limits_{x\rightarrow\infty}(e^x)^{1/x}=e$, pero $\lim\limits_{x\rightarrow\infty}((e^x)^x)^{1\over x}=\infty$).

Para manejar un formulario de este tipo, usted puede tomar el límite del logaritmo de la expressionn primera. Luego, utilizando el poder de la regla de los logaritmos, puedes configurarlo para que de L'Hospital de la regla es aplicable. Después de encontrar el límite del logaritmo, dicen que es $L$, entonces el límite de la expresión original se $e^L$.

Para tu ejemplo:

Encontrar el límite del logaritmo de la primera.

Set $$g(x)=\ln\bigl( (e^{2x}+1)^{1/x}\bigr)= \underbrace{{1\over x}\ln( e^{2x}+1)}_{0\cdot\infty\text{ forma}}= \underbrace{{\ln (e^{2x}+1)\sobre x}}_{{\infty\\infty}\text{ forma}}.$$

A continuación, el uso de L'Hôpital: $$\lim_{x\rightarrow\infty} g(x)= \lim_{x\rightarrow\infty}{\ln(e^{2x}+1)\sobre x}=\lim_{x\rightarrow\infty}{2e^{2x} \over e^{2x}+1} =\lim_{x\rightarrow\infty}{4e^{2x} \over 2e^{2x} } =2. $$

Por lo que $$\eqalign{ \lim_{x\rightarrow\infty} {e^{2x}+1 )^{1/x}} &=\lim_{x\rightarrow\infty}{ \exp\bigl [\g(x) \bigr]}\cr y={ \exp\bigl[\, \lim_{x\rightarrow\infty} g(x) \bigr]}\cr y =e^2.} $$

Answer 3

Tomando nota de que $(1 + e^{2x})^\frac{1}{x} = (1 + e^{2x})^\frac{2}{2x}$, se puede definir $t = 2x$ y ver que el límite es el cuadrado de $e (1 + e^{-t})^\frac{1}{t}$, en el que $1 + e^{-t}$ claramente tiende a 1+ a medida que t tiende a infinito, y, por tanto, a fortiori lo hace $(1 + e^{-t})^\frac{1}{t}$.

Answer 4

En logaritmo fórmulas tenemos: $$x = e^{\ln{x}}$$

utilizamos esta fórmula para la conversión de $\infty^{0}$$0 \times \infty$.

así vamos:

$\lim \limits_{x\to \infty}(e^{2x}+1)^{1/x} = \lim \limits_{x\to \infty} e^{\ln{(e^{2x}+1)^{1/x}}} = \lim \limits_{x\to \infty} e^{\frac{1}{x} \times \ln{(e^{2x}+1)}} = \lim \limits_{x\to \infty} e^{\frac{\ln{(e^{2x}+1)}}{x}} $

ahora que se convirtió en $\frac{\infty}{\infty}$ y se puede aplicar la regla de L'Hospital de.