¿Qué es la matemática de la distinción entre lo abierto y lo cerrado?

Question

Si usted quería que yo para explicar la diferencia entre lo abierto y lo cerrado de los conjuntos, lo mejor que podría hacer es dibujar un círculo uno con puntos de la circunferencia de la otra continua de la circunferencia. O me iba a dar un ejemplo con un conjunto de números de $(1, 2)$ vs $[1,2]$ y decirle que soporte significa abierta o cerrada.

Pero en muchos teoremas que el autor está muerto sobre el uso de ya sea abierto o cerrado, con conjuntos. ¿Cuál es la estricta diferencia matemática que distinguir entre los dos conjuntos y se puso de manifiesto la importancia de tal distinción?

Alguien puede demostrar con un ejemplo en el uso conjunto cerrado para un teorema asociados con el conjunto abierto podría causar algún tipo de problema?

Answer 1

Vamos a hablar de los números reales aquí, en lugar de general métricas o topológicas de los espacios. De esta manera no necesitamos nociones de secuencias de Cauchy o abrir las bolas, y puede hablar en términos familiares.

Definimos que un conjunto $X \subset \mathbb{R}$ es abierto si para cada a $x \in X$ existe algún intervalo $(x-\epsilon,x+\epsilon)$ $\epsilon > 0$ de manera tal que este intervalo es también totalmente contenida en $X$.

Un ejemplo es el inverval $(0,1) =\{x \in \mathbb{R} : 0 < x < 1\}$. Tenga en cuenta que este es un conjunto infinito, porque hay infinitamente muchos puntos. Si usted elige un número $a \in (0,1)$ y deje $\epsilon = \min\{a-0, 1-a\}$, entonces podemos garantizar que $(a-\epsilon,a+\epsilon) \subset X$. El conjunto $X$ está abierto.

Un conjunto $X$ se define a ser cerrado si y sólo si su complemento $\mathbb{R}- X$ está abierto. Por ejemplo, $[0,1]$ está cerrada debido a la $\mathbb{R}-[0,1]= (-\infty,0)\cup(1,\infty)$ está abierto.

Se pone interesante cuando te das cuenta de que los juegos pueden ser a la vez abierto y cerrado, o ninguno. Este es un caso donde el estricto cumplimiento de la definición es importante. El conjunto vacío $\emptyset$ es a la vez abierto y cerrado y así es $\mathbb{R}$. Por qué? El conjunto $[1,2)$ no es ni abierto ni cerrado. Por qué?

Answer 2

La pregunta que se formula tiene las respuestas en los distintos niveles de sofisticación. Usted realmente quiere estar pensando acerca de intervalos en lugar de finito de conjuntos de puntos, y pensar también acerca de las regiones en el plano. Aquí es una manera de mirar las cosas.

Un conjunto cerrado es aquel que contiene toda su límite de puntos, de modo que cuando se trabaja con conjuntos cerrados que usted puede estar seguro de que lindan tomando límites, porque usted sabe que el límite de puntos de existir.

Un conjunto abierto puede ser considerado como uno en el que cada punto es un punto interior, a menos que sea una guía útil cuando usted está pensando acerca de los conjuntos de la línea o en el avión. Así que la idea es que si tienes que elegir un punto en un conjunto abierto, usted tiene suficientes puntos para cerrar en el conjunto de trabajo, y que no hay puntos cerca de ella que están fuera del conjunto (cada punto en un conjunto abierto tiene una vecindad de los puntos en su totalidad dentro de el conjunto abierto). Esto retira especialmente cuando se piensa acerca de las funciones continuas - el clásico de epsilon-delta definición es esencialmente hablar acerca de las relaciones entre puntos cercanos.

Estas ideas pueden ser considerablemente generalizada y hacerse precisa como parte de la maquinaria de la topología. Nota es posible tener un conjunto que es a la vez abierto y cerrado ... toda la recta real, por ejemplo-o para tener un juego que no es ni abierto ni cerrado, como el conjunto de todos los números racionales.

Las propiedades básicas de la apertura y cierre de los conjuntos no son las únicas cosas útiles acerca de ellos. Por ejemplo, un cerrado y limitado subconjunto de la recta real tiene una propiedad útil llamado "compactness", lo que nos permite reducir algunos de los infinitos problemas a lo finito, y por lo tanto obtener mejores resultados.

Answer 3

Un valor real función continua en un circuito cerrado delimitado subconjunto de $\mathbf R^n$ siempre tiene un máximo y un mínimo. Esto no es cierto para abrir subconjuntos.

Ejemplo: la función de $\dfrac1{1-x^2}$ no tiene máximo y no hay mínimo en $(-1,1)$.

Answer 4

Alguien puede demostrar con un ejemplo en el uso conjunto cerrado para un teorema asociados con el conjunto abierto podría causar algún tipo de problema?

Una intersección arbitraria de conjuntos cerrados es cerrada, pero no se puede decir lo mismo acerca de abrir establece: para una intersección de abrir los conjuntos abiertos, tiene que ser finito (contraejemplo, $\bigcap_{n \in \mathbf{N}} \left(-\frac{1}{n},\frac{1}{n}\right) = \{0\}$ es cerrado).

Del mismo modo, un arbitrario de la unión de abiertos es abierta, pero una arbitraria de la unión de conjuntos cerrados no es necesariamente cerrado (contraejemplo, $\bigcup_{x \in \mathbf{R}} \{x\} = \mathbf{R}$ es abierto).

Answer 5

(Estoy asumiendo todo dentro de un espacio métrico)

considere la posibilidad de cualquier cauchy-secuencia dentro de un conjunto cerrado...entonces esto será siempre convergen en donde esto no es cierto para cualquier conjunto abierto..

mismo tiempo, para cualquier punto en el conjunto abierto no siempre existe un vecino de la campana que está correctamente contenida en el conjunto abierto..que no es en general cierto para cualquier conjunto cerrado...

tesis de dos cosas son muy importantes para probar un montón de teorema.