contráctiles y simplemente se conecta

Question

Cada contráctiles espacio X se conecta simplemente porque X es homotopy equivalente a un punto.

Hay una prueba directa de este hecho? Obviamente es un (gratis) homotopy entre cualquier loop y loop en el punto base. Pero, ¿cómo construir una base de homotopy, que se requiere para un bucle de ser trivial en el grupo fundamental?

Answer 1

Si $\varphi_t:S^1\times I\to X$ es el libre homotopy entre el bucle de $\varphi_0$ y el constante bucle de $\varphi_1\equiv x$, e $h$ es la ruta de acceso forman las imágenes de $s_0$, es decir,$h(t)=\varphi_t(s_0)$, a continuación, defina $h_t(s)=h(ts)$. En $t$ atraviesa el camino de $h$ hasta el punto de $h(t)=\varphi_t(s_0)$, por lo que puede ser integrado con $\varphi_t$, que puede ser seguido por $\overline{h_t}$ para volver a $\varphi(s_0)$. De modo que el producto $h_t\cdot\varphi_t\cdot\overline{h_t}$ da una de las bases homotopy entre el$\varphi_0$$h_1\cdot x\cdot\overline{h_1}$, la que después de ser contráctiles.

La idea es también utilizado en el Lema 1.19 de Hatcher Topología Algebraica en la página 37. En realidad, este lema es necesaria para demostrar que homotopy equivalente espacios isomorfos fundamentales de los grupos, argumentando que un punto trivial grupo fundamental sería una forma de razonamiento circular.