Una de las formas más comunes que los grupos de surgir "en la naturaleza" es como conjuntos de simetrías de un objeto. Por ejemplo
- El grupo de simetría $S_n$ es el conjunto de todas las permutaciones de $\{1,\ldots n\}$
- El diedro grupo $D_{2n}$ es el grupo de simetrías de un regular $n$-gon
- La Mentira de grupo $\mathrm{GL}_n(\mathbb R)$ es el grupo de invertible lineal mapas en $\mathbb R^n$
Más en general, dado un resumen general de grupo $G$, regularmente se considera el caso de $G$ que actúa sobre un conjunto $X$, y que podría hacer la pregunta: dado un conjunto $X$, ¿cuál es su "grupo de simetrías".
Teoría de la representación pide lo contrario a esta pregunta:
Dado un grupo de $G$, lo que pone en no actuar?
Si bien es posible intento de responder a este general, un punto de partida útil es restringir los conjuntos en cuestión establece sabemos muchísimo sobre: espacios vectoriales.
Definición: Dejar $G$ ser un grupo, y $V/k$ ser un espacio vectorial. Una representación de $G$ es un grupo de acción de $G$ $V$ que es lineal (así se conserva la estructura de espacio vectorial de $V$) - es decir, por cada $g\in G$, $u,v\in V$, $\mu,\lambda\in k$ $$g(\lambda u+\mu v) = \lambda g(\mu) + \mu g(v).$$
Esta es la definición que se le ha dado. Con $V$ como antes, un equivalente de la definición es esta:
Una representación de $G$ es un grupo homormophism
$$\rho: G\to\mathrm{GL}(V)$$
De hecho, un grupo de acción de $G$ $V$ asigna a cada una de las $g$ una invertible lineal mapa. Y dado un homomorphism $\rho$, $G$ actúa en $V$ través $g\cdot v = \rho(g)v$.
En el caso de que $G$ es una Mentira grupo (o más generalmente de un grupo topológico), entonces necesitamos esta acción y la representación que ser continuo.
Teoría de la representación nos permite traducir nuestro punto de vista por medio de la visualización (cociente) de nuestro grupo como un grupo de lineal mapas en un espacio vectorial. Esto nos permite abordar los problemas en teoría de grupos mediante el conocido y potentes herramientas de álgebra lineal. Por ejemplo, podemos tomar el rastro de un lineal mapa, y la identidad de $\mathrm{tr}(ABA^{-1}) = \mathrm{tr}(B)$ nos dice que la traza de una representación (que se llama el carácter de la representación) es constante en las clases conjugacy de un grupo. También podemos considerar los determinantes, características de los polinomios duales de espacios vectoriales (o el doble representación), dimensión y muchos más de nuestros favoritos de los conceptos de álgebra lineal.
Las representaciones son sin duda de gran alcance:
- Hay teoremas (por ejemplo, respecto de Frobenius grupos) cuya única conocida pruebas de uso de la teoría de la representación.
- Hay grupos (como$\mathrm{Gal}(\overline{\mathbb Q}/\mathbb Q)$), a la que sólo saben realmente cómo estudiar a través de sus representaciones.
