Impulso como Generador de Traducciones

Question

Entiendo que a partir de algunos estudios en matemáticas, que el generador de traducciones está dada por el operador $\frac{d}{dx}$.

Del mismo modo, sé que a partir de la mecánica cuántica que el impulso operador es $-i\hbar\frac{d}{dx}$.

Por lo tanto, podemos ver que el impulso operador es el generador de las traducciones, multiplicado por el $-i\hbar$.

Yo sin embargo, estoy interesada en saber si un argumento puede ser hecho a lo largo de las líneas de "desde $\frac{d}{dx}$ es el generador de las traducciones, a continuación, el impulso del operador debe ser proporcional a $\frac{d}{dx}$". Si usted podría esbozar un argumento, creo que esto me ayudará a entender la conexión física entre el generador de las traducciones y el impulso del operador en la mecánica cuántica.

Answer 1

En la posición de la representación, los elementos de la matriz (función de onda) de un impulso eigenstate son $$\langle x | p\rangle = \psi_p(x) = e^{ipx}$$ The wavefunction shifted by a constant finite translation $un$ is $$\psi(x+a)$$ Now the momentum operator is the thing which, acting on the momentum eigenstates, returns the value of the momentum in these states, this is clearly $-i\frac{d}{dx}$.

Para nuestro impulso eigenstate, si me espacialmente cambio por una cantidad infinitesimal $\epsilon$, se convierte en $$\psi(x+\epsilon) = e^{ip(x+\epsilon)} = e^{ip\epsilon}e^{ipx} = (1+i\epsilon p + ...)e^{ipx}$$ i.e. the shift modifies it by an expansion in its momentum value. But if I Taylor expand $\psi(x+\epsilon)$, I get $$\psi(x+\epsilon)= \psi(x)+\epsilon \frac{d}{dx} \psi(x)+... = \psi(x)+i\epsilon(-i\frac{d}{dx})\psi(x)+... $$ So this is consistent since the infinitesimal spatial shift operator $-i\frac{d}{dx}$ es, precisamente, el operador que está sacando el impulso autovalor.