Cómo encontrar la solución a este sistema de variables de tipo integer?

Question

Deje $x_i$ ser entero no negativo variables en $\mathbb{N}$. El sistema es encontrar a $x_i$ en

$$\sum_{i=1}^nx_i=3n,\\\quad \quad \quad \quad \;\;\,x_i\leqslant3,\,\forall\, i\in\{1,\ldots,n\}.$$

Me parece la solución a $x_i=3$ todos los $i$ pero no puedo demostrar que es la única solución.

Answer 1

Supongamos que algunos de los $x_j <3$. Wlog podemos suponer $j=1$. Entonces $$ \sum_{i=1}^{n} x_i = x_1 + \sum_{i=2}^{n}x_i \le 2 + 3(n-1) < 3n. $$ Así que tenemos una contradicción.

Answer 2

$$\sum_{i=1}^nx_i \leq \sum_{i=1}^n3=3n$$ and the equality holds only when $x_i=x_j$ for all $i,j$.

Así que la única solución es $x_i=3$ todos los $i$

Answer 3

Suponga, al menos, $1 \ x_i$ es menos de $3$. Entonces no debe haber al menos un $x_j$ estrictamente mayor que $3$ para compensar $3n$ . Por lo tanto, una contradicción

Answer 4

Asuma que no hay otra solución $(y_i)_{i=1,2...n} $ . entonces

$$S=\sum_{i=1}^n|3-y_i|=0 \implies$$

$$ \forall i\in\{1,2,...n\}\;\;S\geq |3-y_i|\geq 0 $$

$$\implies \forall i\in\{1,2,...n\}\;\;y_i=3$$