La prueba de un cambio de la fórmula de medida

Question

Me preguntaron por alguien con el siguiente problema:

Supongamos $X$ $Y$ son compactos métrica espacios y $F: X \to Y$ es un mapa continuo de $X$ a $Y$. Si $\nu$ es una medida finita en los conjuntos de Borel de $Y$, demostrar que no existe una medida $\mu$ sobre los conjuntos de Borel de $X$ tal que $$\int_Y f \, d\nu = \int_X f \circ F \, d \mu \tag{1}$$ para todos los $f$ que son continuas en a $Y$.

Para mí, la ecuación de $(1)$ osos muy parecido al clásico de cambio de variable de la fórmula en la teoría de la medida: $$\int_X f \circ F\,d\mu = \int_Y f \,d \nu \tag{2}.$$

Sin embargo, en $(2)$, la medida de $\mu$ es conocido en primer lugar y la inducida por la medida de $\nu$ se define a través de $\mu$ $F$ (de hecho, $\nu = \mu \circ F^{-1}$.). Además, para demostrar $(2)$, no necesitamos la compacidad, continua y en condiciones dadas en el problema --- todo lo que necesitamos son que $\mu$ es una medida finita y $F$ es medible, entonces $(2)$ mantiene para cualquier integrable $f$. Por lo tanto, se ve como $(1)$ es otra versión de la $(2)$, con aparentemente más fuerte de condiciones, pero el más restringido conclusión (pero de nuevo, las órdenes de medidas de $\nu$ $\mu$ son esencialmente opuestas.).

Se dice que este es un problema de probabilidad, pero los típicos trucos utilizados en probabilidad de no trabajar para mí. En particular, no sé cómo implementar el la continuidad de la condición. Agradezco cualquier sugerencia.

Answer 1

Como usted dijo, si tenemos un medibles mapa de $F: X \to Y$, siempre podemos utilizar las $F$ a empujar las medidas de avance de $X$ $Y$definiendo el pushforward medida $\nu = \mu \circ F^{-1}$. En este problema, tenemos que ir al revés: tenemos una medida en $Y$ y debemos tirar de él de nuevo a $X$. Esto es más difícil y necesitamos supuestos adicionales. La idea es encontrar un medibles sección de $F$, es decir, medibles mapa de $G: Y \to X$ tal que $F \circ G = id_Y$. (Esto equivale a elegir, en un medibles manera, un único preimagen en $F$ por cada $y \in Y$.) A continuación, podemos utilizar $G$ a pushforward $\nu$$Y$$X$, y el resultado de la medida en $X$ va a satisfacer $(1)$.

En el contexto de su problema, el siguiente teorema es el truco:

Teorema de 6.9.7. (citado de V. I. Bogachev, Teoría de la Medida. Vol. II, Springer, 2007.)

Deje $X$ ser un espacio métrico compacto, vamos a $Y$ ser un topológico de Hausdorff espacio, y dejan $f:X \to Y$ ser una asignación continua. Entonces, existe un conjunto de Borel $B\subset X$ tal que $f(B) = f(X)$ $f$ es inyectiva en a $B$. Además, el mapeo $f^{-1}:f(X) \to B$ es de Borel.

Usted puede encontrar la prueba en Bogachev del libro aquí. La idea es comenzar con el caso de $X=[0,1]$. Aquí, para cada una de las $y \in F(X)$ podemos seleccionar una preimagen de $y$ bajo$F$, teniendo la más pequeña, es decir, que establezca $G(y) = \inf \, \{ x : F(x)=y \}$. En el caso general, usamos el hecho de que cualquier espacio métrico compacto es la imagen continua de algunas conjunto compacto $K \subset [0,1]$ y se aplican en el caso anterior.

Volviendo a tu problema, ya que el $F$ es surjective el teorema da una Borel medible sección $G:Y \to X$. El pushforward medida $\mu \equiv \nu \circ G^{-1}$ a continuación, responde a $\nu = \mu \circ F^{-1}$, que es simplemente la ecuación de $(1)$ en el caso especial donde $f$ es un indicador de la función. La ecuación de $(1)$ arbitrarias de funciones integrables luego sigue por la costumbre aproximación argumentos.

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El siguiente va más allá de la pregunta, pero que podrían ser de su interés que los supuestos que $X$ $Y$ son compactos métrica espacios y que $F$ es continua no son necesarias. En Bogachev del libro, es la siguiente generalización de su problema, que es mucho más complicado:

Teorema de 9.1.5. (citado de V. I. Bogachev, Teoría de la Medida. Vol. II, Springer, 2007.)

Deje $X$ $Y$ ser Souslin espacios y deje $f:X \to Y$ ser un Borel asignación tal que $f(X) = Y$. A continuación, para cada medida de Borel $\nu$$Y$, existe una medida de Borel $\mu$ $X$ tal que $\nu = \mu \circ f^{-1}$$|| \mu ||= ||\nu||$. Si $f$ es un uno-a-uno la asignación, a continuación, $\mu$ es único.

(Ver aquí la definición de "Souslin espacio".) La idea de la prueba es todavía para encontrar un medibles sección $g: Y \to X$, pero es mucho más difícil en esta configuración general.