Demostrar la desigualdad de $\left|\frac{m}{n}-\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right|<\frac{1}{mn}$

Question

Demostrar que la desigualdad $$\left|\frac{m}{n}-\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right|<\frac{1}{mn}$$ holds for positive integers $m, n$ if and only if $m$ and $n$ where $m > n$ son dos términos sucesivos de la secuencia de Fibonacci.

Pensé sobre el uso de la fórmula explícita para la secuencia de Fibonacci, que es$$F_n = \dfrac{1}{\sqrt{5}}\left(\left(\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^n-\left(\dfrac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^n\right),$$, pero esto parece que se computacional. Hay una manera más fácil de pensar acerca de esto?

Answer 1

$\varphi = \frac{1+\sqrt{5}}{2}$ es la raíz de $x^2-x-1=0$. De hecho,$x^2-x-1=\left(x - \frac{1+\sqrt{5}}{2}\right) \cdot \left(x - \frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)$. Tomando $x=\frac{F_{n+1}}{F_n}$, tenemos:

$$\left|\left(\frac{F_{n+1}}{F_n}\right)^2-\frac{F_{n+1}}{F_n}-1\right|=\left|\frac{F_{n+1}}{F_n} - \frac{1+\sqrt{5}}{2}\right| \cdot \left|\frac{F_{n+1}}{F_n} - \frac{1-\sqrt{5}}{2}\right| \Leftrightarrow $$ $$\left|\frac{F_{n+1}^2-F_{n+1}F_n-F_n^2}{F_n^2}\right|=\left|\frac{F_{n+1}}{F_n} - \frac{1+\sqrt{5}}{2}\right| \cdot \left|\frac{F_{n+1}}{F_n} + \frac{\sqrt{5}-1}{2}\right| \Leftrightarrow $$ El uso de la pista (un caso particular de esto): $$\frac{1}{F_n^2}=\left|\frac{F_{n+1}}{F_n} - \frac{1+\sqrt{5}}{2}\right| \cdot \left(\frac{F_{n+1}}{F_n} + \frac{\sqrt{5}-1}{2}\right) \Rightarrow$$ $$\frac{1}{F_n^2}>\left|\frac{F_{n+1}}{F_n} - \frac{1+\sqrt{5}}{2}\right| \cdot \frac{F_{n+1}}{F_n}$$ o $$\left|\frac{F_{n+1}}{F_n} - \frac{1+\sqrt{5}}{2}\right| < \frac{1}{F_n \cdot F_{n+1}}$$

Ahora, supongamos $\left|\frac{m}{n} - \frac{1+\sqrt{5}}{2}\right| < \frac{1}{mn}, m>n$ a continuación, utilizando el mismo polinomio: $$\left|\left(\frac{m}{n}\right)^2-\frac{m}{n}-1\right|=\left|\frac{m}{n} - \frac{1+\sqrt{5}}{2}\right| \cdot \left|\frac{m}{n} - \frac{1-\sqrt{5}}{2}\right| < $$ $$\frac{1}{mn}\cdot \left(\frac{m}{n} + \frac{\sqrt{5}-1}{2}\right)$$ o $$\left|m^2-mn-n^2\right|< \frac{n}{m} \cdot \left(\frac{m}{n} + \frac{\sqrt{5}-1}{2}\right)<\frac{n}{m} \cdot \left(\frac{m}{n} + 1\right)<2$$ lo que significa que $\left|m^2-mn-n^2\right|=0$ o $\left|m^2-mn-n^2\right|=1$. La primera, relacionada a $x^2-x-1=0$, no tiene entero de soluciones distintas a $m=n=0$ no $m>n$. Los números de Fibonacci satisfacer el último.

Son los únicos números de Fibonacci sattisfying $\left|m^2-mn-n^2\right|=1$? Bien, $1$ $0$ ¿y si asumimos $m=n+q$ tenemos:

$$|m^2-mn-n^2|=|(n+q)^2 - (n+q)n - n^2|=|n^2+2nq+q^2 - n^2 - nq - n^2|=$$ $$|q^2+nq-n^2|=|n^2-nq-q^2|=1$$ claramente $n>q>0$, de lo contrario $q^2+nq-n^2 \geq n^2 + n^2 - n^2\geq 1$ (la igualdad en realidad sólo es posible para $n=q=1$). Siguiente tomamos $n=q+q_1$ y así sucesivamente, que conduce a $m>n>q>q_1>...>q_p > 0$, es decir, es un proceso finito. $q_p=1$ de lo contrario se puede "dividir" (por ejemplo, $q_p=2$ conduce a $q_{p+1}=1$$|2^2-2\cdot 1 -1^1|=1$). Finalmente, esto nos lleva a los números de Fibonacci sólo.

Answer 2

Si $m > n$ son números de Fibonacci consecutivos, $$ m^2 - mn - n^2 = \pm 1 $$

La forma cuadrática $m^2 - mn - n^2$ factores muy bien cuando añadimos $\frac{1 + \sqrt 5}{2}$ $\frac{1 - \sqrt 5}{2}$ a los enteros