Un problema de inducción (probablemente trivial): $\sum_2^nk^{-2}\lt1$

Question

Así que estoy un poco atascado en el siguiente problema que estoy tratando de resolver. Esencialmente, tengo que demostrar que $\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\cdots+\frac{1}{n^2} < 1$ para todos $n$ . Llevo un rato haciendo un poco de gimnasia algebraica, pero no consigo demostrarlo. Demostrarlo usando el cálculo no es un problema, pero estoy luchando aquí.

Answer 1

Como suele ocurrir con las demostraciones por inducción, la forma más sencilla de demostrar esta afirmación (que no parece en absoluto inductible; al fin y al cabo, ¿cómo puede saber la suma de $n$ es inferior a $1$ decirle nada sobre la suma por $n+1$ ?) por inducción es transformarla en otra más fuerte: $$\mathrm{For\ all\ } n\geq2, \frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\ldots+\frac{1}{n^2} \lt 1-\frac{1}{n}.$$

Ahora, la respuesta se convierte en una simple cuestión de álgebra:

$$\sum_{i=2}^{n+1} \frac{1}{i^2} = \sum_{i=2}^{n} \frac{1}{i^2} +\frac{1}{(n+1)^2}\lt 1-\frac{1}{n}+\frac{1}{(n+1)^2}\lt 1-\frac{1}{n}+\frac{1}{n(n+1)} = 1-\frac{1}{n+1}.$$

Answer 2

Otra prueba es por comparación: observe que

$$ {1 \over k^2} < {1 \over (k-1)k} $$

para todos los números enteros $k \ge 2$ . Por lo tanto

$$ {1 \over 2^2} + {1 \over 3^2} + \cdots + {1 \over n^2} < {1 \over 1 \times 2} + {1 \over 2 \times 3} + \cdots + {1 \over (n-1) \times n} $$

y ahora necesitas encontrar la suma en el lado derecho. Pero en realidad se puede escribir

$$ {1 \over (k-1)k} = {1 \over k-1} - {1 \over k} $$

(esto no es más que la descomposición parcial de fracciones habitual) y por tanto

$$ {1 \over 1 \times 2} + {1 \over 2 \times 3} + \cdots + {1 \over (n-1) \times n} = \left( {1 \over 1} - {1 \over 2} \right) + \left( {1 \over 2} - {1 \over 3} \right) + \cdots + \left( {1 \over n-1} - {1 \over n} \right) $$

y el lado derecho lo que se llama una ``suma telescópica'' -- es decir, los pares de términos $-1/2$ y $+1/2$ , $-1/3$ y $+1/3$ y así sucesivamente. Así que el lado derecho es $1 - 1/n$ que es inferior a 1.

Esto me vino a la mente casi inmediatamente, porque resulta que sabía que $\sum_{k \ge 2}^\infty 1/(k(k-1)) = 1$ pero si no lo supieras de antemano sería un poco difícil descubrirlo.

Answer 3

Otro enfoque más :

Analicemos primero la suma hasta el infinito. Sea $$ S= \frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+\frac{1}{5^2}+ \cdots \infty$$ $$\Rightarrow S=(\frac{1}{2^2}+\frac{1}{4^2}+ \cdots\infty) +(\frac{1}{3^2}+\frac{1}{5^2}+ \cdots\infty ) $$$$ \Flecha derecha S= \frac{1}{4}(1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\cdots\infty)+ S' $$ Where $$ S'=\frac{1}{3^2}+\frac{1}{5^2}+ \cdots\infty $$ $$ \Rightarrow S=\frac{1}{4}(1+S)+S' $$ $$ \Flecha derecha 3S=4S'+1........ Ecuación(1) $$ Now examine the following inequality $$ (\frac{1}{2^2}-\frac{1}{3^2})+(\frac{1}{4^2}-\frac{1}{5^2})+ \cdots \infty > 0 $$ $$ \Flecha derecha \frac{1}{2^2}+\frac{1}{4^2}+\cdots > \frac{1}{3^2}+\frac{1}{5^2}+ \cdots $$ $$ \Flecha derecha \frac{1}{4}(1+\frac{1}{2^2}+\cdots) >\frac{1}{3^2}+\frac{1}{5^2}+ \cdots $$ $$ \Flecha derecha: frac{1}{4}(1+S)> S' $$ $$ \Flecha derecha (1+S)> 4S'...... Ecn(2) $$ From Equation 1 and 2 we get $$ 1+S> 3S-1 $$ $$ \Flecha derecha 1> S $$ Which shows $$ 1> \frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+\frac{1}{5^2}+ \cdots \infty$$