¿Cómo encontrar el valor de un exponente desconocido?

Question

Por ejemplo, tengo la pregunta:

$$2^{4x+1} = 128$$

Lo resolví sabiendo que $128 = 2^7$ y por lo tanto $x$ debe ser igual a $1.5$ .

Sin embargo, ¿hay alguna manera de resolver esto sin saber que $128 = 2^7$ ?

Answer 1

... y sin logaritmos ni conocer potencias de $2$ aparte de la más trivial ... \begin {align*} 2^{4x+1} &= 128 \\ 2^{4x+1-1} = 2^{4x} &= 128/2 = 64 \\ 2^{4x-1} &= 32 \\ 2^{4x-2} &= 16 \\ 2^{4x-3} &= 8 \\ 2^{4x-4} &= 4 \\ 2^{4x-5} &= 2 \\ 2^{4x-6} &= 1 = 2^0 \text {,} \\ \end {align*} así que $4x-6 = 0$ y $x = 6/4 = 3/2$ .

Answer 2

$2^{4x+1}=128\iff$

$\log_22^{4x+1}=\log_2128\iff$

${4x+1}=7\iff$

${4x}=6\iff$

${x}=6/4$

Answer 3

$2^{4x+1}=128$

$\log 2^{4x+1}=\log 128$

$(4x + 1) \times \log 2 = \log 128$ - de las propiedades de los troncos

$x = \frac{1}{4}(\frac {\log 128}{log (2)} - 1) = 3/2$

tenga en cuenta que puede utilizar cualquier logaritmo, log base 10 o 'ln' - o cualquier otra 'base' de logaritmos que pueda tener (siendo log10 y loge los que se encuentran comúnmente en las calculadoras, hojas de cálculo, etc ) tiene que utilizar el tipo de log elegido de forma consistente por supuesto

Answer 4

Para resolver tu ecuación, toma el logaritmo de base 2 de ambos lados:

$$\log_2 2^{4x+1} = \log_2 128$$ $$4x+1 = 7$$ $$x = 1.5$$

Sin embargo, ¿hay alguna manera de resolver esto sin saber que $128=2^7$ ?

Pues bien, este dato equivale a "saber que $\log_2 128 = 7$ ", así que no.

Answer 5

Es muy fácil. Supongamos que tenemos

$$k_1 ^ {k_2 * x + k_3} = k_4$$

Donde todos los $k$ son conocidos, y la x es desconocida.

Comenzamos eliminando el $k_3$ del resultado ( $k_4$ ) dividiéndolo por $k_1 ^ {k_3}$ . El resultado así obtenido debe ser igual a:

$$k_1 ^ {k_2 * x}$$

Como puede ver, ya no tenemos que lidiar con el $k_3$ . A continuación, elevamos el resultado anterior a la potencia de $\frac{1}{k_2}$ . Es decir, averiguamos qué número tenemos que elevar a la potencia de $k_2$ para llegar al resultado $k_1 ^ {k_2 * x}$ . La respuesta debe ser igual a:

$$k_1 ^ x$$

Ahora, finalmente, a partir de este resultado podemos averiguar el valor de $x$ utilizando una operación matemática que nos permite saber a qué número hay que elevar otro número conocido para llegar a un resultado conocido.

Esta operación es el logaritmo. Su método de uso es el siguiente: Supongamos que $a ^ b = c$ . El logaritmo se puede utilizar para averiguar $b$ y se escribe entonces como $\log_a c$ .

Por lo tanto, para averiguar x en el resultado anterior, utilizamos $\log_{k_1} result$ donde $result$ es el valor del resultado obtenido de las operaciones anteriores.