Por ejemplo, tengo la pregunta:
$$2^{4x+1} = 128$$
Lo resolví sabiendo que $128 = 2^7$ y por lo tanto $x$ debe ser igual a $1.5$ .
Sin embargo, ¿hay alguna manera de resolver esto sin saber que $128 = 2^7$ ?
... y sin logaritmos ni conocer potencias de $2$ aparte de la más trivial ... \begin {align*} 2^{4x+1} &= 128 \\ 2^{4x+1-1} = 2^{4x} &= 128/2 = 64 \\ 2^{4x-1} &= 32 \\ 2^{4x-2} &= 16 \\ 2^{4x-3} &= 8 \\ 2^{4x-4} &= 4 \\ 2^{4x-5} &= 2 \\ 2^{4x-6} &= 1 = 2^0 \text {,} \\ \end {align*} así que $4x-6 = 0$ y $x = 6/4 = 3/2$ .
Esta es en realidad la verdadera solución. Cualquier solución que implique la media del logaritmo debe saber que 128 es 2^7 por lo que debe marcarse como respuesta
@Thaina: Ver mis comentarios (y el hilo de comentarios en general) sobre la propia pregunta. Además, para que este método funcione, $128$ tiene que ser una potencia perfecta de $2$ y quien despliegue este método debe conocerlo. Así que en términos de "saber", no hay mucha diferencia entre usar $\log_2$ y utilizando este método.
Creo que debería haber parado en $2^{4x-5}$ como establecer $2^0=1$ puede no ser tan evidente como $2^1=2$ .
@Jack M: No si el paso de la segunda a la tercera línea se ha hecho computando realmente el $\log_2$ de 128; por supuesto, después de eso probablemente conozca lo.
$2^{4x+1}=128$
$\log 2^{4x+1}=\log 128$
$(4x + 1) \times \log 2 = \log 128$ - de las propiedades de los troncos
$x = \frac{1}{4}(\frac {\log 128}{log (2)} - 1) = 3/2$
tenga en cuenta que puede utilizar cualquier logaritmo, log base 10 o 'ln' - o cualquier otra 'base' de logaritmos que pueda tener (siendo log10 y loge los que se encuentran comúnmente en las calculadoras, hojas de cálculo, etc ) tiene que utilizar el tipo de log elegido de forma consistente por supuesto
Las calculadoras no suelen tener logaritmo de base 2, puedes usar cualquier tipo de logaritmo, logaritmo 10 o ln(base e) ambos funcionan. lol, cuando dice "saber" quiere decir "ser capaz de detectar", no calcularlo con una calculadora
Es muy fácil. Supongamos que tenemos
$$k_1 ^ {k_2 * x + k_3} = k_4 $$
Donde todos los $k$ son conocidos, y la x es desconocida.
Comenzamos eliminando el $k_3$ del resultado ( $k_4$ ) dividiéndolo por $k_1 ^ {k_3}$ . El resultado así obtenido debe ser igual a:
$$k_1 ^ {k_2 * x}$$
Como puede ver, ya no tenemos que lidiar con el $k_3$ . A continuación, elevamos el resultado anterior a la potencia de $\frac{1}{k_2}$ . Es decir, averiguamos qué número tenemos que elevar a la potencia de $k_2$ para llegar al resultado $k_1 ^ {k_2 * x}$ . La respuesta debe ser igual a:
$$k_1 ^ x$$
Ahora, finalmente, a partir de este resultado podemos averiguar el valor de $x$ utilizando una operación matemática que nos permite saber a qué número hay que elevar otro número conocido para llegar a un resultado conocido.
Esta operación es el logaritmo. Su método de uso es el siguiente: Supongamos que $a ^ b = c$ . El logaritmo se puede utilizar para averiguar $b$ y se escribe entonces como $\log_a c$ .
Por lo tanto, para averiguar x en el resultado anterior, utilizamos $\log_{k_1} result$ donde $result$ es el valor del resultado obtenido de las operaciones anteriores.
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¿Quieres decir que $2^{4x+1}=128$ ?
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$$128 = 2^{7}$$
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Sí, me refería a eso.
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$x=2$ no funciona. No es necesario "saber" que $128=2^7$ ...si quisieras resolver $2^y=z$ podrías simplemente tomar $\log_2$ de ambas partes para obtener $y=\log_2 z$ .
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Bueno, ahora que has añadido "sin saber que $128 = 2^7$ "... ¿Qué quieres decir exactamente con eso? Si usted toma $\log_2$ en $128$ y se obtiene $7$ Entonces, ¿significa eso que usted "sabe que $128 = 2^7$ ?
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Así que la respuesta es tomar el log2 de ambos lados.
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Se refiere a cómo invierte el proceso de "2 se eleva a la potencia de... Lo cual se puede lograr tomando el logaritmo, luego usando el álgebra, luego el antilogaritmo
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Bueno, parte de la respuesta, sí... Pero, ¿cómo se puede "saber" el valor de $\log_2128$ ? Y si lo sabes, entonces no significa que sabes $2^7=128$ ???
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¿Sólo ponerlo en una calculadora?
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La cuestión es que debería haber una forma de responder a la pregunta sin saber ya que 128 = 2^7.
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Hay una manera de hacerlo, sólo tienes que utilizar los registros como se ha sugerido. No necesitas saber que $2^7 = 128$ . Es un método sistemático para resolver una ecuación exponencial general
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Por si no lo sabías ya $128=2^7$ se empezaría por encontrar la factorización en primo de $128$ .
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¿Está bien si conozco todos mis $2^n$ todo el camino hasta $4096$ debido a ese juego llamado " $\it2048$ "?
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@top_systems_programmer: Paso 1: observa que $2^{7}=128.$ Paso 2: Hacer lo mismo que antes. No veo por qué el conocimiento de un hecho general es razón para rechazar un método válido de solución, al menos en este caso. A veces sólo hay que saber algo (o al menos, se realmente ayuda) con el fin de averiguar algo más. Este es el propósito de lemas y dar con los lemas clave es a menudo el manera de avanzar en los problemas difíciles.
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Bueno. tal vez el punto es, si usted no sabe log2(128) es 7 como lo va a calcular. Así que en realidad debemos añadir esta información para completarlo. No solo decir log y listo es.wikipedia.org/wiki/Logaritmo#Cálculo