Este es el ejercicio E.2 del capítulo 24 de la obra de Pinter Libro de álgebra abstracta :
Si $B$ es un ideal de $A$ , $B[x]$ no es necesariamente un ideal de $A[x]$ . Pon un ejemplo que demuestre esta afirmación.
Me parece bastante fácil construir una prueba de que $B[x]$ es un ideal de $A[x]$ así que me gustaría saber qué le pasa:
Primero queremos demostrar que $B[x]$ es un subgrupo de $A[x]$ bajo adición:
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Sea $p, q \in B[x]$ . Para calcular $p+q$ simplemente sumamos los coeficientes correspondientes. Como los coeficientes están en $B$ y $B$ es un subgrupo, los coeficientes de $p+q$ pertenecen a $B$ y así $p+q\in B[x]$ .
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Sea $p \in B[x]$ . De nuevo, puesto que $B$ es un subgrupo, $-p$ está en $B[x]$ .
Ahora demuestro que, dado cualquier $p \in B[x]$ y $r \in A[x]$ , $pr$ y $rp$ están en $B[x]$ . Los coeficientes de $pr$ vienen dadas por
$$(pr)_i = \sum_{j+k=i} p_j r_k = \sum_{j=0}^i p_j r_{i-j}$$
Cada término de la suma es un producto de algún $p_j$ que se encuentra en $B$ y algún elemento de $A$ . Desde $B$ es un ideal, todos $p_j r_k$ están en $B$ y también lo es la suma; por lo tanto, $pr \in B[x]$ . El mismo argumento sirve para $rp$ .
Parece que he demostrado que $B[x]$ es un ideal de $A[x]$ . ¿En qué me he equivocado?
