Ceros en el plano complejo y convergencia

Question

Yo estoy haciendo algo de teoría de números que requiere un poco de trabajo en $\mathbb{C}$, pero por desgracia mi análisis complejo está un poco oxidado.

Un texto que estoy leyendo dice lo siguiente:

...y dado que el $\sum_{\rho}|\rho|^{-2}$ converge, se deduce que el producto $\prod \limits_\rho (1-\frac{z}{\rho})e^{z/\rho}$ converge a una función completa con ceros a $z=\rho$ y en ningún otro lugar.

Podría alguien explicar, preferiblemente sin entrar en demasiado detalle (refrescante mi memoria!) ¿por qué es esto? Aquí, $\rho$ rangos sobre el conjunto de ceros de una función integral $f: \mathbb{C} \to \mathbb{C}$ de orden 1, que no es idéntica a cero. Es obvio que el producto es cero en cada una de las $\rho$; ¿qué necesitamos saber que converge a una función completa con ceros en ningún otro lugar?

Para la convergencia, es que simplemente la necesidad de acotar el módulo anterior por algunos finito de valor en cada una de las $z$? Y ya que es un producto infinito, ¿cómo podemos confirmar que es cero en ningún otro lugar; un límite inferior de la misma manera? Finalmente, lo que nos dice que es todo? De nuevo, dado que es un producto infinito no sé cómo es trivial que la reclamación es; no es muy difícil estoy seguro, pero tal vez requieren algunos pequeños justificación.

Como he dicho, probablemente ha aprendido todo esto en algún momento de mi vida así que no hay necesidad de un extraordinario detalle, sólo una breve explicación sería muy útil. Todo parece vagamente recuerda a la de un curso que tomé en las superficies de Riemann un par de años atrás. Gracias!

Answer 1

Sólo para facilitar la notación, enumerar los ceros como $(\rho_n)$. Entonces para cualquier $R>0$ existe $n_R$ tal que $|\rho_n| > 2R$$n\ge n_R$. Para cualquier $N > n_R$, la función $$g_N(z) = \prod_{n=n_R}^N \left(1-\frac{z}{\rho_n}\right) e^{z/\rho_n}$$ no tiene raíces en $|z|<R$, de modo que existe una analítica de la rama de $$ h_N(z) = \log g_N(z) = \sum_{n=n_R}^N \left[ \log\left(1-\frac{z}{\rho_n}\right) + \frac{z}{\rho_n}\right] $$ donde debemos elegir la rama principal del logaritmo para cada término de la suma. Utilizando el hecho de que $\left|\frac{z}{\rho_n}\right|<\frac12$$|z|<R$$n\ge n_R$, y el hecho de que exista una constante $C$ tal que para $|w| <\frac12$ tenemos $|\log(1-w)+w| \le C|w|^2$, de nuevo por la rama principal del logaritmo (que sigue fácilmente desde el poder de expansión de la serie), obtenemos que $$ \left| \log\left(1-\frac{z}{\rho_n}\right) + \frac{z}{\rho_n}\right| \le C \frac{|z|^2}{|\rho_n|^2} \le \frac{CR^2}{|\rho_n|^2} $$ para todos los $n \ge n_R$$|z|<R$. Por supuesto, la serie sobre los términos converge, por lo que $$ \lim_{N\to\infty} h_N(z) = \sum_{n=n_R}^\infty \left[ \log\left(1-\frac{z}{\rho_n}\right) + \frac{z}{\rho_n}\right] $$ converge uniformemente en $|z|<R$ a una analítica límite de $h(z)$. Esto implica que $$ \lim_{N\to\infty} g_N(z) = \lim_{N\to\infty} e^{h_N(z)} = e^{h(z)} = \prod_{n=n_R}^\infty \left(1-\frac{z}{\rho_n}\right) e^{z/\rho_n} $$ es un no-cero de la analítica de la función en $|z|<R$. Esto demuestra que $$ f(z) = \prod_{n=1}^\infty \left(1-\frac{z}{\rho_n}\right) e^{z/\rho_n} $$ converge uniformemente a una analítica de la función en $|z|<R$, cuyo único ceros $z=\rho_n$$n<n_R$$|\rho_n|<R$. Desde $R$ fue arbitraria, para empezar, la reivindicación de la siguiente manera, y la convergencia de la infinita producto a nivel local es uniforme en todo el avión.