Este es un hecho general, y no necesita de lujo extra estructura como la de una Mentira grupo (o incluso una estructura de Riemann):
Si usted tiene dos liso campos vectoriales $X,Y$ sobre una suave colector $M$ (por simplicidad, suponga completar campos vectoriales), y si $\phi_t: M \to M$ denota el flujo de $X$, luego
$$\frac{d}{dt}\Big|_{t=0} (\phi_t)_* Y = [X,Y].$$
(Importante: tenga en cuenta que el $(\phi_t)_*$ en el lado izquierdo indica el empuje hacia delante de un diffeomorphism actuando en campos vectoriales, y no mereley la fibra sabio mapa!)
Agregar.: Hay dos mapas, que a veces se denota con un $*$: Supongamos que usted tenga un buen mapa de $\psi: M \to N$ entre los colectores (que podríamos tener,$M=N$, pero en general, la versión podría ser más claro).
- Dado un vector tangente $v\in T_pM$ a un punto, existe la fibra sabio mapa de $\psi_*:T_pM \to T_{\psi(p)}N$ que se asigna a $ v\mapsto \psi_* v$. Toma un vector en el $p$ y la asigna a un vector en el punto de la imagen $\psi(p)$. Esto funciona para cualquier liso mapa de $\psi:M \to N$.
- Si $\psi$ es un diffeomorphism, entonces también podemos hacer la siguiente. Dado un campo vectorial $X\in \Gamma(TM)$, podemos trazar un mapa a través de $\psi$ a un campo de vectores $\psi_*X\in \Gamma(TN)$. Este es el push-forward mapa. Obtenemos $\psi_*X$ como sigue: Dado $q\in N$, vamos a $p = \psi^{-1}(q)\in M$ ser su preimagen. Tenga en cuenta que $X_p\in T_pM$ es un vector tangente. Podemos hacer un mapa de $X_p$ a un vector tangente $\psi_* (X_p) \in T_{\psi(p)}N$ con el mapa de (1). El valor de $\psi_*X$ $q = \psi(p)$ es obtenido mediante el establecimiento $(\psi_*X)_q := \psi_* (X_p)$. Hacer esto para cada $q\in N$ nos da un campo de vectores $[q\mapsto (\psi_*X)_q]\in \Gamma(TN)$.
Por este proceso, se obtiene un mapa de $\psi_*: \Gamma(TM)\to \Gamma(TN)$ que se da explícitamente por $$\psi_*: \Gamma(TM)\to \Gamma(TN), \quad [p\mapsto X_p] \mapsto [q\mapsto \psi_*(X_{\psi^{-1}(q)})].$$ de empuje hacia adelante actuando en campos vectoriales. Sólo tiene sentido para diffeomorphisms en general, y es una forma de transporte de los campos vectoriales de un lugar a otro.
Ahora vamos a $f\in C^\infty(M)$ ser cualquier función suave. Para demostrar la anterior identidad, tenemos que mostrar que $\left(\frac{d}{dt}|_{t=0} (\phi_t)_\ast Y \right) f = [X,Y]f$. Recuerde que el empuje de avance $(\phi_t)_\ast X$ está definido por $$((\phi_t)_* Y )_pf = (\phi_{t})_\ast (Y_{\phi_{-t}(p)})f = Y_{\phi_{-t}(p)}(f\circ \phi_{t})$$ for all $p\en M$. Así
\begin{align}
\left(\frac{d}{dt}|_{t=0} (\phi_t)_\ast Y \right) {}_p f &= \lim_{t\to 0} \frac{((\phi_t)_* Y )_pf - Y_pf}{t} \\
&= \lim_{t\to 0} \frac{Y_{\phi_{-t}(p)}(f\circ \phi_{t}) - Y_pf}{t} \\
&= \lim_{t\to 0} \frac{Y_{\phi_{-t}(p)}(f\circ \phi_{t}) - Y_{\phi_{-t}}f}t +\lim_{t\to 0} \frac{Y_{\phi_{-t}(p)}f -Y_pf}{t} \\
&= \lim_{t\to 0} \frac{Y_{\phi_{-t}(p)}(f\circ \phi_{t}-f)}t +\lim_{t\to 0} \frac{(Yf)(\phi_{-t}(p)) -(Yf)(p)}{t} \\
&= Y_p\left(\lim_{t\to 0}\frac{f\circ \phi_{t} - f}{t}\right) +\lim_{t\to 0} \frac{(Yf)(\phi_{-t}(p)) -(Yf)(p)}{t} \\
&= Y_p(Xf) - X_p(Yf) \\
&= [X,Y]_p f.
\end{align}
(la convención de signos para la Mentira de los soportes es $[X,Y]= YX-XY$ o $[X,Y] = XY-YX$, dependiendo de la preferencia).
En su caso $\phi_t = \exp(tX)$ es el flujo de $X$.
