¿Local coordina junto a punto tal que $X= \partial_1$ en relación con esas coordenadas, campo del vector con aislados s.t. coordenadas no existen?

Question

Que $M$ ser un finito-dimensional múltiple liso y deje $X$ ser un campo liso del vector en $M$. Que $X(p) \neq 0$ $p \in M$.

• ¿Cómo demuestro que puedo encontrar coordenadas locales cerca de $p$ tal que $X = \partial_1$ en relación con estas coordenadas?
• ¿Qué es un ejemplo de un campo del vector con un cero aislado para que no existan esas coordenadas?

Answer 1

¿Cómo puedo demostrar que puedo encontrar coordenadas locales cerca de $p$ tal que $X = \partial_1$ en relación a estas coordenadas?

Podemos suponer que la $X$ es un campo de vectores en $U \subset \mathbb{R}^n$ $X(0) \neq 0$ donde $p$ $0$ en estas coordenadas locales. Hacer un cambio lineal de variables, de modo que $X(0) = \partial_1$. El mapa$$(x_1, x_2, \dots, x_n) \mapsto \Phi_{x_1} (x_2, x_2, \dots, x_n)$$is a diffeomorphism near the origin; indeed, all we have to do is cite the Inverse Function Theorem, since the aforementioned map written down has the identity as its derivative at the point $0$.

¿Qué es un ejemplo de un campo vectorial con un aislado de cero para que las coordenadas no existen?

Un ejemplo de un campo de vectores para los cuales no es posible enderezar es$x \partial_y - y \partial_x$$\mathbb{R}^2$. De hecho, en cualquier barrio de $0$, no podemos enderezar el vector de campo, incluso si borramos el punto de $0$ debido a que el flujo de las trayectorias son círculos.