' ' Etiquetado discriminación ' ' de los objetos de una categoría

Question

Yo no soy particularmente utilizado para la categoría de la teoría del pensamiento y el paradigma de que hay ciertos estados de cuenta que estoy acostumbrado a hacer en el conjunto de modelado teórico de enfoque que me gustaría caracterizar en la categoría de lengua. Me gustaría simplemente la retroalimentación de los más experimentados categoricians en una posible solución a mi problema que he expuesto al final de mi comentario.

En el contexto de los Conjuntos, cuando le pregunté (mi supervisor (a) acerca de cómo se podría expresar la idea de un subconjunto o de intersección de conjuntos en la categoría de marco, me fue referido ecualizadores y pullbacks. Y, por supuesto, el punto de trabajo en una categoría que hasta el isomorfismo, que no puede distinguir los objetos por sus flechas. Si hemos definido como "tener un ecualizador en ..." como "ser un subconjunto de ...',' entonces dado un subconjunto X de Y, y cualquier conjunto Z es isomorfo a X, que sería capaz de encontrar un ecualizador de Z en y y que haría Z un subconjunto de Y. Y eso está bien, en el sentido abstracto.

En el conjunto habitual enfoque teórico, el etiquetado de los elementos que me permite discriminar entre decir, X={1,2} y Z={1,4}, aunque son isomorfos entre sí como conjuntos. Ahora, puedo decir que X es un subconjunto de Y={1,2,3}, pero Z no es un subconjunto de éste.

El punto que estoy consiguiendo es que me gustaría hacer el anterior tipo de distinción entre los objetos, sin embargo, permanecen como tanto como sea posible en la categoría de teoría marco. Idealmente, me gustaría ser capaz de ver esta propiedad de tener "real" de los subconjuntos de un conjunto (llevado a cabo por la búsqueda de aquellos conjuntos que tienen sublabellings de la última) como un resumen externos de la propiedad en conjuntos como objetos de una categoría (es decir, sin la necesidad de proporcionar interno explícita etiquetas).

MI PREGUNTA ES ESTA: ¿Qué tipo de estructura podría agregar en la parte superior de una categoría que me permita recuperar la posibilidad de distinguir entre los subobjetos de un objeto Y que son "reales" de subobjetos de Y en oposición a aquellos que no son (como en el ejemplo de arriba, donde X es un subconjunto de Y, pero no Z).

Mi conjetura es que, dada una categoría C, todo lo que necesita es un orden parcial R en los objetos, que describe el "real subobjeto de relaciones". Por lo tanto, los objetos relacionados con R(a,B) están obligados a tener al menos un ecualizador de a a B. sin Embargo, la existencia de un ecualizador de algunos, en algunos B no implica, necesariamente, R(a,B) (de modo que podamos tener copias de Una mentira a su alrededor, pero no necesariamente de manera directa subobjetos de B).

Para decirlo de una forma puramente categórica idioma, creo que sería el equivalente a decir que existe un functor de algunos poset en la categoría C en cuestión, que los mapas de morfismos de la poset de ecualizadores de C. ¿tiene esto algún sentido o es completa disonancia de mi parte y mal uso de la categoría de marco? También, yo podría ser la falta de una condición en esta "functor" que haría que la idea correctamente, no estoy seguro.

Agradecería cualquier comentario y/o referencias sobre el asunto.

Gracias

Answer 1

Lo que usted ve como el "real subobjeto relación" es una noción de la teoría de conjuntos que no tiene ningún significado en la categoría de teoría. En realidad, en mi opinión, la categoría de teoría ofrece el "derecho" perspectiva de subobjetos (subconjuntos, subgrupos, subrings, subespacios, $\dotsc$). Es decir, que "ser un subobjeto" no es una relación en la clase de los objetos, sino más bien una clase de morfismos! De esta manera podemos recordar cómo dos objetos que se insertan en cada uno de los otros, y no sólo los que se insertan. Detalles:

Un monomorphism en una categoría es una de morfismos $f : B \to A$ que tiene la propiedad de que $fx=fy \Rightarrow x=y$ para todos los morfismos $x,y : T \to B$. En muchas categorías en matemáticas diarias, el monomorphisms son exactamente lo que usted espera que ellos sean.

Un subobjeto de un objeto $A$ es un monomorphism $f : B \to A$. El objeto de $B$ puede ser recuperado como el dominio de $f$ aquí. Pero aviso que $f$ no puede ser recuperado de $B$. Realmente es $f$ que es el subobjeto de $A$, no $B$!

Por ejemplo: Un subconjunto de un conjunto $A$ es un inyectiva mapa de $B \to A$. Un subgrupo de un grupo de $A$ es un inyectiva grupo homomorphism $B \to A$. Un subespacio de un espacio topológico $A$ es un inyectiva mapa continuo $B \to A$.

En la práctica, a menudo se dice que el $B$ es un subobjeto de $A$ cuando hay un canónica $f : B \to A$ en el contexto y en realidad significa que $f$ es un subobjeto. Por ejemplo, cuando nos dicen que $\mathbb{Z}$ es un subconjunto de a $\mathbb{Q}$, que en realidad significa que $z \mapsto \frac{z}{1}$ es un inyectiva mapa!

Podemos comparar subobjetos: Si $f: B \to C,g : B' \to C$ son subobjetos de $A$, escribimos $f \subseteq g$ cuando hay un morfismos $i : B \to B'$$g \circ i = f$. En particular, podemos escribir la $f \cong g$ y llame a $f,g$ isomorfo o equivalente al $f \subseteq g \subseteq f$, lo que significa que hay un isomorfismo $i : B \to B'$$g \circ i = f$.

(En muchos textos se verá que isomorfo subobjetos se identifican a ser el mismo, pero esta es una) que no son realmente necesarias para trabajar con subobjetos, b) no naturales desde la perspectiva de la superior categoría de la teoría.)

Ahora apliquemos esto a la categoría de conjuntos y los ejemplos que se han mencionado (probablemente muchos de los teóricos de la que no está de acuerdo conmigo aquí):

$B=\{1,2\}$, $A=\{1,2,3\}$, $C=\{1,4\}$

Nos deja denotar por $i_A : A \to \mathbb{N}$ la inclusión de mapas, así como para $i_B$$i_C$.

De acuerdo a la definición anterior, no tiene sentido decir que $B$ es un subconjunto de a $A$. Pero la inclusión del mapa de $f : B \to A$ $f$ un subconjunto de a $A$. Pero lo que en realidad quiere decir es que el subconjuntos $(B,i_B)$ $(A,i_A)$ $\mathbb{N}$ satisfacer $(B,i_B) \subseteq (A,i_A)$. Cuando escribimos $B \subseteq A$, que en realidad significa esto.

Es correcto que la $B$ $C$ son isomorfos, y cualquier isomorfismo $B \to C$ puede ser considerado como un (terminal) subconjunto de $C$. Pero $(B,i_B)$ $(C,i_C)$ son no isomorfos subconjuntos de a $\mathbb{N}$. Y esto es lo que significa realmente por $B \not\subseteq C$!

Por último, hay un monomorphism $f : C \to A$, por ejemplo,$f(1)=1$$f(4)=2$, que luego es un subconjunto de a $A$. Pero todavía $(C,i_C) \not\subseteq (A,i_A)$, lo que en realidad significa por $C \not\subseteq A$.

Cuando se hace la teoría de conjuntos, a menudo pensamos de todos los conjuntos (en un contexto dado) como parte de un gran conjunto, el universo $V$. Al $A,B$ se pone en $V$, lo que los teóricos de la escritura como $B \subseteq A$, es que no la afirmación de que $B$ es un subconjunto de a $A$ en el sentido de la categoría de la teoría, sino que $(A,i_A) \subseteq (B,i_B)$ donde $i_A : A \to V$ $i_B : B \to V$ son las inclusiones. En otras palabras, el conjunto de los teóricos no recuerdo la inclusión en el universo. Yo creo que deberían! Además, simplemente no hay ningún conjunto de $V$ que contiene todos los otros conjuntos, de modo que uno tiene que elegir a $V$ en "un mundo superior" (hay varias formas de hacer este preciso) y que no pertenecen a la categoría de los conjuntos más. Otra razón en contra de la idea de un universo grande es que simplemente no existe para el resto de categorías (por supuesto que podemos formalmente lindan con un terminal de objeto a una determinada categoría, pero esto no tiene ningún significado real).

Una muy relacionados con la cuestión es la siguiente: ¿Qué significa para los dos conjuntos de $A,B$ a ser distinto? Por supuesto, ZF o cualquier clásico axiomatization de la teoría de conjuntos ofrece una respuesta. Pero, ¿realmente tiene sentido? Se $\pi+5$ $\ln(2)$ discontinuo? (Recuerde que en ZF todo es un conjunto, incluso los números.) Para una categoría teórico no tiene sentido preguntar si dos conjuntos de $A,B$ son distintos, ya que esta relación no es invariante bajo equivalencias de categorías $\mathsf{Set} \to \mathsf{Set}$. Tiene mucho más sentido para incrustar $A,B$, en un gran conjunto $C$ y, a continuación, preguntar si $A$ $B$ son distintos en $C$. Más generalmente, si $f : A \to C$ $g : B \to C$ son subobjetos (o arbitrarias morfismos) en una categoría con pullbacks, entonces decimos que la $f$ $g$ son disjuntos cuando el pullback $A \times_C B$ es un objeto inicial.

Espero que me podría convencer a algunos de los lectores que la categoría de teoría ofrece la "correcta" perspectiva de subobjetos.

Answer 2

Aunque estoy de acuerdo con el sentimiento en la otra respuesta, me siento obligado a ofrecer un contrapunto.

En Categorías, Alegorías, por Freyd, Scedrov, hay una sección en lo que ellos denominan $\tau$-categorías. No tengo una copia del libro a la mano y no recuerdo los detalles, pero recuerdo que es una estructura que asciende a distinguir límite específico diagramas (por ejemplo, pullbacks, productos, ecualizadores, los terminadores); por ejemplo, para un determinado par de objetos, no es un único producto y la proyección de mapas que forman un distinguido diagrama.

El $\tau$ estructura puede permitir que usted para hacer el tipo de cosas que usted estaba buscando para hacer en tu post.