¿Pueden los modelos de la teoría de conjuntos contener ordinales adicionales?

Question

En el artículo "Complete topoi representing models of set theory" de Blass y Scedrov, consideran una noción general de modelo booleano-valorado de la teoría de conjuntos, y una de las condiciones que imponen es que el modelo no contenga "ningún ordinal extra después de los de V", es decir, que para todo z en el modelo tengamos

$$\Vert z \text{ is an ordinal} \Vert = \bigvee_{\alpha \text{ is an ordinal of } V} \Vert z=\check{\alpha}\Vert $$

donde $\Vert-\Vert$ denota la función de verdad del modelo valorado en alguna álgebra booleana completa.

Mi pregunta es: ¿existen modelos que hacer contienen "ordinales extra" en este sentido? Supongo que sí, o no habrían necesitado imponer esta condición. ¿Cómo son esos modelos?

(A modo de aclaración, ciertamente si el modelo inicial V es un modelo de conjunto en algún universo mayor, entonces uno puede encontrar otros modelos de conjunto en ese universo mayor que contengan más ordinales. Pero a mí me interesa empezar con un único modelo V y construir modelos a partir de él, que pueden ser conjuntos o clases propias).

Answer 1

Tengo dos respuestas.

En primer lugar, el método estándar de construcción de modelos de valores B de la teoría de conjuntos donde B es cualquier álgebra booleana completa, siempre satisface su condición.

Supongamos que B es un álgebra booleana completa cualquiera, y denotamos el universo original de la teoría de conjuntos por V. Se construye el universo de valores B V B construyendo la colección de colección de nombres B por recursión, de modo que τ es un nombre B, si está formado por los pares ⟨σ,b⟩ donde σ es un nombre construido previamente y b ∈ B. Se puede imponer una estructura de valores B a la clase V B de todos los nombres B, definiéndolo primero para las fórmulas atómicas por inducción sobre los nombres y luego extendiéndola a todas las fórmulas por inducción sobre las fórmulas. Esta es la forma habitual de forzar con modelos booleanos, y V B es la estructura booleana resultante.

Lo notable, proporcionando el poder de forzar, es que cada axioma ZFC obtiene el valor booleano 1 en V B . En particular, la afirmación de que dos ordinales cualesquiera son comparables tendrá el valor booleano 1.

Supongamos que z es un nombre B cualquiera. Si β es un ordinal superior a el rango Levy de z, es decir, el lugar en el V _β jerarquía donde el nombre z existe por primera vez, entonces no es difícil ver que [[ β ∈ z ]] = [[ β = z ]] = 0. Se deduce que [[ z ∈ β ]] = 1. Pero este último valor booleano es el mismo que V _α<β [[ z = α ]]. Por lo tanto, hemos hemos demostrado su identidad

• [[ z es un ordinal ]] = V _{α ∈ ORD} [[ z = α ]],

ya que todos los términos de esta unión son 0 más allá de β y por debajo de β es la expresión que ya observamos.

Hay un punto sutil sobre si su condición expresa realmente "no hay nuevos ordinales" o no. Supongamos que V B es el modelo valorado en B que hemos construido y dejemos que U sea cualquier ultrafiltro en B. Se puede formar el modelo cociente V B /U, y hay un teorema de Los, que muestra que el cociente satisface φ si y sólo si [[ φ ]] ∈ U. Si U no es genérico en V, por ejemplo, si U está en V y B no es atómico, entonces habrá nombres z tales que [[ z es un ordinal ]] = 1, pero [[ z = α ]] ∉ U para cualquier ordinal α en V. Una forma de pensar en esto es que V B sabe que z es definitivamente un ordinal, y por su propiedad, V _{α ∈ ORD} [[ z = α ]] = 1, pero V B no sabe que z es ningún ordinal particular α. Por lo tanto, el ultrafiltro U es capaz de colarse entre estos dos requisitos, y en el cociente, z es un nuevo ordinal. Pero esto no contradice su propiedad.

Ahora, en segundo lugar, puedo dar un ejemplo negativo. Está implícito en tu pregunta que el modelo de valores B incluye de alguna manera a V, ya que te refieres a los ordinales α de V dentro de los paréntesis booleanos. Supongamos que V es la univisión de todos los conjuntos, y dejemos que j:V a M sea cualquier incrustación elemental que no sea un isomorfismo. Por ejemplo, tal vez M sea la ultrapotencia de V por un ultrafiltro (M puede estar bien fundado o no). En particular, no todo ordinal de M tiene la forma j(α) para un ordinal α de V. Puesto que M es un modelo de ZFC, podemos considerarlo como un modelo booleano de 2 valores, o como un modelo de B valores para cualquier B, ya que 2 = {0, 1} es una subálgebra de B. Pero M tiene ordinales que no tienen la forma j(α) para cualquier ordinal α de V. Si uno identifica V con su imagen en M, entonces esto proporcionaría un contraejemplo a la propiedad deseada.

Answer 2

Como ha señalado Joel, ese requisito es válido para los modelos de valor booleano interno. También es cierto para los modelos simétricos, los modelos de permutación (Blass y Scedrov permiten los átomos) y una variedad de construcciones mixtas. Blass y Scedrov simplemente estaban aislando las características comunes clave de estas construcciones.

Dicho esto, hay formas de violar esta condición. Por un requisito anterior de Blass y Scedrov sobre los nombres canónicos, esto requeriría que el modelo de valor booleano fuera una extensión final de V. Por ejemplo, un viejo resultado de Keisler y Morley dice que todo modelo contable de ZF tiene una extensión final elemental. No hay forma interna de construir tales cosas en ZFC simple, ya que eso violaría fácilmente el Teorema de Gödel, pero es posible tener aproximaciones decentes asumiendo cardinales grandes.

Hay una construcción interesante de Sy Friedman en la que esencialmente obliga con un poset de tamaño Ord + . (Hay que pasar por varios aros para hacerlo, véase el capítulo 5 del libro de Sy Friedman Estructura fina y forzamiento de clase .) Si se deja suelto, este forzamiento violaría naturalmente la condición de no tener nuevos ordinales. Sin embargo, Friedman tiene cuidado de recortar el modelo para que no aparezcan nuevos ordinales.

---

He aquí algunas observaciones adicionales sobre una posible construcción que se acerca mucho a lo que usted desea.

Aparte del hecho de que nos hemos quedado sin ordinales, no hay ninguna razón real para detener la construcción habitual de L en Ord. Podemos construir L _Ord+1 de la misma manera, salvo que no podemos sustituir las definiciones de las clases por conjuntos reales. Sin embargo, podemos definir elementos de L _Ord+1 para ser (códigos de Gödel para) fórmulas de una variable con parámetros ordinales, identificando fórmulas que definen la misma clase. Esto es difícil de hacer internamente, ya que no tenemos una definición de verdad, pero podemos evitarlo usando 0 # suponiendo que existe en V. Una vez que tenemos L _Ord+1 podemos construir de forma similar L _Ord+2 . De hecho, con cardenales suficientemente grandes, podemos seguir así durante bastante tiempo. No hay ninguna razón por la que podamos llegar a un modelo de ZF de esta manera, pero no creo que sea imposible. Para conseguirlo, es necesario que L viva dentro de un modelo V en el que toda la información relevante esté empaquetada en un conjunto. Aquí es donde Friedman (basándose en el trabajo seminal de Jensen y otros) lo recoge. Sus métodos en el capítulo 5 sugieren que se puede empaquetar toda la información relevante en un solo número real. Desgraciadamente, aquí es también donde me detengo, abrir el libro de Friedman en una página al azar debería explicar por qué...