¿Irreductibilidad de un polinomio con exponentes en secuencia lineal entero?

Question

Deje $b$ $n$ ser de dos enteros positivos. Es que hay un resultado general que nos dicen que cuando el polinomio $$1+x^{b}+x^{2b}+x^{3b}+\cdots+x^{nb}$$ es irreducible sobre los enteros?

Sé que $$1+x+\cdots+x^{n-1}$$ es irreducible si y sólo si $n$ es primo. También sé que $$1+x^n$$ is irreducible if and only if $n=2^k$ for some $k\geq 0$. Sin embargo, me gustaría ver en una secuencia lineal y saber irreductibilidad antes de esmero, buscando factores.

Me he dado cuenta de que el $n$ por encima de la pregunta debe ser, incluso, de lo contrario podríamos factor $1+x^b$. Pero aparte de eso no he hecho mucho terreno, excepto para determinados valores de $n$. Estoy esperando por una 'cayó de golpe el resultado, pero si no la hay, me gustaría una recomendación para un plan general de enfoque para la determinación de la irreductibilidad de estos polinomios.

Cualquier ayuda es muy apreciada.

Answer 1

Como señala Bruno Joyal, su polinomio es $$ f_{b,n}(x)=\frac{1-x^{b(n+1)}}{1-x^b}. $$ Por lo tanto, todas las raíces primitivas de la unidad de la orden de $b(n+1)$ son ceros de $f_{b,n}(x)$. El polinomio mínimo de esas raíces de la unidad es el cyclotomic polinomio $\Phi_{b(n+1)}(x)$.

De ahí el cyclotomic polinomio es siempre un factor de $f_{b,n}(x)$. Como el cyclotomic polinomios son todos los irreductibles, $f_{b,n}$ es irreducible si y sólo si es igual a $\Phi_{b(n+1)}(x)$. En el otro lado $$ \gr\Phi_{b(n+1)}(x)=\phi(b(n+1)). $$ Por lo que una condición necesaria y suficiente para la irreductibilidad de $f_{b,n}(x)$ es que el $\phi(b(n+1))=bn$.

Pero si $n+1$ no es un número primo, entonces $\phi(n+1)<n$. Esto implica que hay más de $b$ números en el rango de $1\ldots b(n+1)$ que tiene un no-trivial, común factor $n+1$, es decir, aquellos con un resto modulo $n+1$ que tiene un factor común con $n+1$. Así que en ese caso $\phi(b(n+1))<bn$.

Por lo tanto $n+1$ debe ser un número primo $p$. Ahora, si $b$ tiene un factor primo $q$, $q\neq p$, entonces $$\phi(bp)\le bp(1-\frac1q)(1-\frac1p)=bn(1-\frac1q)<bn.$$ On the other hand, if $b=p^k$, then $b(n+1)=p^{k+1}$. In that case $$\phi(b(n+1))=\phi(p^{k+1})=(p-1)p^k=nb.$$ por lo Tanto hemos probado

Respuesta. El polinomio $f_{b,n}(x)$ es irreducible en a $\Bbb{Z}[x]$ si y sólo si $n+1$ es un número primo $p$, e $b=p^k, k\ge0$.