Hay una técnica general para la descripción de la línea de paquetes en topología, geometría diferencial, complejos colectores,...
Podemos aplicarlo en la geometría algebraica para proyectiva del espacio y se le dará un enfoque alternativo que te puede resultar atractivo. Aquí está.
(1)
Considerar la cobertura de $\mathcal U$ de $\mathbb P^n_k$ que consiste en el abierto de subconjuntos de $U_i=\lbrace z=[z_0:...:z_n]\in\mathbb P^n_k| z_i\neq 0\rbrace \; (i=0,...,n)$ y las funciones $g_{ij}\in \Gamma(U_i\cap U_j,\mathcal O^*_{\mathbb P^n_k})$ definida por $g_{ij}(z)=\frac{z_j}{z_i}$.
Estas funciones ("un cocycle relativos a $\mathcal U$") caracterizar completamente la gavilla de $\mathcal O_{\mathbb P^n_k}(1)$ : dado un arbitrario abrir subconjunto de $U\subconjunto \mathbb P^n_k$, una sección $s\en \Gamma(U,\mathcal O_{\mathbb P^n_k}(1))$
corresponde a una familia de funciones $s_i\en \Gamma(U\cap U_i,\mathcal O_{\mathbb P^n_k})$ satisfacción de $s_i=g_{ij}s_j$ en $U\cap U_i\cap U_j$.
Importante ejemplo de (1) Una sección global $s\en \Gamma(\mathbb P^n_k,\mathcal O_{\mathbb P^n_k}(1))$ está dada por las funciones de $s_i\en \Gamma(U_i,\mathcal O_{\mathbb P^n_k})$ satisfacción de $s_i=\frac{z_j}{z_i}s_j$ en $U_i\cap U_j$.
La única manera posible de funciones son de la forma
$s_i=\frac{L}{z_i}$ donde $L=a_0z_0+...+a_nz_n \(k^{n+1})^*$ es arbitraria la forma lineal en $k^{n+1}$ y así, hemos
$$\Gamma(\mathbb P^n_k,\mathcal O_{\mathbb P^n_k}(1))=(k^{n+1})^*$$
(-1)
Del mismo modo, las funciones $g_{ij}^{-1}(z)=\frac{z_i}{z_j}$ caracterizar la gavilla de $\mathcal O_{\mathbb P^n_k}(-1)$
Ejemplo importante (-1) Una sección global $t\in \Gamma(\mathbb P^n_k,\mathcal O_{\mathbb P^n_k}(-1))$ está dada por las funciones de $t_i\en \Gamma(U_i,\mathcal O_{\mathbb P^n_k})$ satisfacción de $t_i=\frac{z_i}{z_j}t_j$ en $U_i\cap U_j$.
Sólo $t_i=0$ es posible, y tenemos así
$$ \Gamma(\mathbb P^n_k,\mathcal O_{\mathbb P^n_k}(-1))=0 $$
Una explícita cálculos para n=1 (saltar si están hartos de la informática!)
En el fin de entender realmente lo que está pasando sin perdernos a nosotros mismos en los índices , vamos a examinar el caso $n=1$ y calcular $\Gamma(\mathbb P^1_k,\mathcal O(1))$.
Una sección $s\en \Gamma(\mathbb P^1_k,\mathcal O(1))$ es dada por una función $s_0(z)=a+bz+cz^2+...\en \Gamma(U_0,\mathcal S)=k[z]\; (z=z_1/z_0)$
y una función
$s_1(w)=\alpha +\beta w+\gamma w^2+...\en \Gamma(U_1,\mathcal O) \; (w=z_0/z_1)$
satisfactorio (tenga en cuenta que $w=1/z$ en $U_0\cap U_1$)
$s_0(z)=a+bz+cz^2+...=z(\alpha +\beta w+\gamma w^2+...)=\alpha z+\beta+\gamma (1/z)+...$ en $U_0\cap U_1$.
Esto implica que $a=\beta, b=\alpha$, y que todos los demás coeficientes son cero.
Por lo tanto, poner $L=az_0+bz_1$, de hecho, hemos demostrado que $s_0=\frac{L}{z_0}, s_1=\frac{L}{z_1}$ como se anunció anteriormente.
