¿Cómo explicar lo que está mal en esto?

Question

Mi amigo se presentó esto a mí y al instante sé que esto está mal. Sin embargo, no puedo explicar por qué esto es malo para mi amigo.

Pregunta. Demostrar $\displaystyle \frac{100-100}{100-100} = 2.$

Respuesta. $$\begin{align*} \frac{100-100}{100-100} &= \frac{(10)^2 - (10)^2}{10(10-10)}\\ &= \frac{(10+10)(10-10)}{10(10-10)}\\ &= \frac{20}{10} = 2. \end{align*}$$

Mi argumento es que en el tercer paso, donde va como esto: $$\frac{(10+10)(10-10)}{10(10-10)}$$ usted no puede cancelar la $(10-10)$ - no parece correcto. Sin embargo, estoy en una pérdida de explicar por qué exactamente no se puede hacer eso y mi amigo tiene el poder argumentativo (es que ni una palabra? Quiero decir, él es bueno con los argumentos, incluso si no están hechos) y que me tiene confundido hasta el punto de que estoy empezando a pensar que se puede hacer.

¿Alguien puede por favor explicar por qué esto es malo?

Gracias.

Answer 1

No puede dividirse por $0$; $\frac{100-100}{100-100}$ no se define, precisamente por ese tipo de paradojas.

Answer 2

No hay tal cosa como un "cancelar" de la operación. Esto es, por el contrario, la taquigrafía para factorizando $1$, y la simplificación. En otras palabras, supongamos que usted tiene $$\frac{x^3+x}{x^2+1}$$ Usted podría factor $$\frac{x^2+1}{x^2+1}$$ para producir $$\frac{x(x^2+1)}{x^2+1}$$ Sin embargo, desde entonces, en todas partes $$\frac{x^2+1}{x^2+1}=1$$ Basta con sustituir el primero con el último, para el rendimiento $$x.$$

En un nivel fundamental, donde la prueba va mal es que salta sobre esta sutileza y utiliza el "acceso directo" de la cancelación, sin respetar las condiciones bajo las cuales el atajo es válido.

En fin, lo que se pretende es que $$\frac{(10-10)}{(10-10)}=\frac{0}{0}\ne1,$$ que es la condición que usted necesita con el fin de hacer que la cancelación.

Answer 3

Es un caso especial de que el hecho de que si $0$ es invertible o cancelables, a continuación, todos los elementos son iguales, es decir.

$$\rm x\cdot 0\ =\ y\cdot 0\ \ \Rightarrow\ \ x\ =\ y\quad by \ cancelling\:\ 0 $$

Compensación denominadores en su prueba, vemos que es $\rm\ z\to 10\ $ en el siguiente caso especial de más arriba

$$\rm (z + z)\:(z-z)\ =\ z\ (z - z) \ \Rightarrow\ \ z+z\ =\ z\quad by \ cancelling\:\ z-z $$

Ocasionalmente sneaky algebraists explotar las pruebas semejantes a la conclusión de que al deducir que $\:1 = 0\:$ en un anillo de $\rm\:R\:,\:$ o $\rm\:R = \{0\}$ (de modo que todos los elementos son iguales!) por ejemplo, ver a esta pregunta. Pero como se puede ver en los muchos confunden los comentarios allí y aquí, es mejor pedagógicamente para evitar tales esotérico inferencias.

Answer 4

Otra forma de verlo es reformular el argumento como sigue:

$\begin{align*} &100-100=100-100\\ &(10+10)(10-10)=10(10-10)\\ &20=10 \end{align*} $

Usted puede comprobar que las dos primeras líneas son correctas, mientras que la tercera no es. La razón es que dividido por $10-10=0$ entre ellos.

Answer 5

no se puede cancelar cero... amigo...

$(10+10)(10-10) = 10(10-10)$

$10-10 = 0$

sólo se puede cancelar...

es como hacer:

$7 \times 0 = 8 \times 0$

cancelar cero en ambos lados y se obtiene:

$7 = 8$

que es incorrecto...