¿Por qué es $\cos^2(2\pi/5) + \cos^2(4\pi/5)=3/4$ ?

Question

Supongamos que $\theta=2\pi/5$ . Aparentemente es cierto que $1+ \cos^2 \theta + \cos^2(2\theta) + \cos^2(3 \theta) + \cos^2 (4\theta) = 5/2$ , o de forma equivalente, $\cos^2(2\pi/5) + \cos^2(4\pi/5)=3/4$ . ¿Cuál es la forma más fácil de ver esto?

Veo que $1 + \cos \theta + \dotsb + \cos 4\theta = 0$ de Moivre.

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Esto surgió al calcular el carácter de la representación bidimensional irreducible del grupo diédrico de orden $10$ (es decir, demostrar que es irreducible).

Answer 1

Dejemos que $\zeta = e^{i \theta}$ . Entonces tienes

$$\cos^2 (2\theta) + \cos^2 (4\theta) = {1 \over 4} \left( e^{2\theta} + e^{-2\theta} \right)^2 + {1 \over 4} \left( e^{4\theta} + e^{-4\theta} \right)^2 $$

o, recordando la definición de $\zeta$ ,

$$ {1 \over 4} \left( \left( \zeta^2 + \zeta^{-2} \right)^2 + \left( \zeta^4 + \zeta^{-4} \right)^2 \right)$$

Ahora bien, si se amplía esto, se obtiene

$$ {1 \over 4} \left( \zeta^4 + 2 + \zeta^{-4} + \zeta^8 + 2 + \zeta^{-8} \right) $$

o, recordando que $\zeta^5 = 1$ Esto es

$$ {1 \over 4} \left( 4 + \zeta^4 + \zeta + \zeta^2 + \zeta^3 \right). $$

La reordenación da

$$ {1 \over 4} \left( 3 + (1 + \zeta + \zeta^2 + \zeta^3 + \zeta^4) \right)$$

y por De Moivre tenemos $1 + \zeta + \zeta^2 + \zeta^3 + \zeta^4$ , así que esto es sólo $3/4$ .

Answer 2

Como $\pi=180^\circ$ $$S=\cos^272^\circ+\cos^2144^\circ$$

$$2S=1+\cos144^\circ+1+\cos288^\circ=2+\cos(180-36)^\circ+\cos(360-72)^\circ$$

Como $\cos(180^\circ-A)=-\cos A,\cos(360^\circ-B)=+\cos B,$ $$2S-2=\cos72^\circ-\cos36^\circ$$

Ahora usa Prueba de la ecuación trigonométrica $\cos(36^\circ) - \cos(72^\circ) = 1/2$