¿Cuál es la intuición del proceso inversible en series temporales?

Question

Estoy leyendo un libro sobre series temporales y comencé a rascarme la cabeza en la siguiente parte:

¿Podría alguien explicar la intuición para mí? No lo pude entender a partir de este texto. ¿Por qué necesitamos que el proceso sea invertible? ¿Cuál es la imagen completa aquí? Soy nuevo en esto, así que si pudieras ser amable al usar términos a nivel de estudiante al explicar esto :)

Answer 1

En la representación AR($\infty$), el error más reciente se puede escribir como una función lineal de las observaciones actuales y pasadas: $$w_t = \sum_{j=0}^\infty (-\theta)^j x_{t-j}$$ Para un proceso invertible, $|\theta|<1$ y por lo tanto las observaciones más recientes tienen un peso mayor que las observaciones del pasado más distante. Pero cuando $|\theta| > 1$, los pesos aumentan a medida que aumentan los rezagos, por lo que las observaciones más distantes tienen mayor influencia en el error actual. Cuando $|\theta|=1$, los pesos son constantes en tamaño y las observaciones distantes tienen la misma influencia que las observaciones recientes. Como ninguna de estas situaciones tiene mucho sentido, preferimos los procesos invertibles.

Answer 2

Una serie temporal es invertible si los errores pueden ser invertidos en una representación de observaciones pasadas.

Para los datos de la serie temporal, el error ($\epsilon$) en el tiempo $t$ ($\epsilon_t$) puede ser representado como:

$$\epsilon_t = \sum\limits_{i=0}^{\infty}(-\theta)^i \, y_{t-i}$$

Con cada valor rezagado ($y_{t-i})$, su coeficiente es el término de la $i^{th}$ potencia de $\theta$. Por lo tanto, la serie infinita converge a un valor finito sólo si $|\theta|<1$, lo que también significa que las observaciones recientes son ponderadas más que las observaciones lejanas.

Por lo tanto, una serie temporal es invertible si $|\theta|<1$ (posibilidad de representar errores como combinación lineal de observaciones pasadas)