Preparar espirales en las superficies de revolución

Question

Esto es enteramente una pregunta ingenua, y además, vago. Disculpas de antemano!

Imaginar envolver el Ulam primer espiral alrededor de una superficie en $\mathbb{R}^3$, algo como esto:

Esto sugiere esta variación. Deje $S$ una superficie de revolución, tocando el origen $(0,0,0)$ y subiendo en el positivo $z$-halfspace. Envuelva una monótonamente creciente "prime de caracol" $\rho$$S$, de modo que la distancia (medida en $S$) entre dos sucesivas los números primos en $\rho$ es la diferencia entre los dos primos como enteros. Pero $\rho$ no se necesita ser un geodésica en $S$.

Al igual que las diagonales de la Ulam primer espiral revelan las relaciones y sugerir las conjeturas sobre los números primos, tal vez algún particular $S$ regularizar o "organizar" los números primos. Así que, finalmente, mi pregunta es la siguiente:

Hay un poco de la superficie de revolución de $S$ y algunos $\rho$, de modo que el geodesics desde el origen de mentira en planos verticales (los análogos de las diagonales) revelan la estructura en los números primos? Ya sea comprobable o conjetural de la estructura?

Answer 1

Tan lejos como soy consciente de que (en otras palabras, ya que yo no soy un experto no tome esta respuesta demasiado en serio) esto no se ha estudiado el uso de la terminología o los que usted describe. Sin embargo, hay algunas conjeturas sobre los números primos, que podría ser traducido a esto, así que, en cierto sentido, sí, hay conjeturas que predecir lo que los patrones que vamos a ver son.

En primer lugar, tenga en cuenta que no hay nada especial acerca de la espiral de Ulam. Su principal característica es que se mueve alrededor de enteros que son los valores de los polinomios cuadráticos en una forma en que aparecen en una línea. Del mismo modo, jugando con la idea de utilizar otros (algebraica) de las superficies, podemos notar que las líneas se convierten en valores enteros polinomios (no necesariamente cuadrática).

Así, como yo lo veo, el problema se reduce a conjeturó densidades de prime los valores de los polinomios. Patrones surgen cuando algunos polinomio se espera que las familias tienen una mayor densidad de los números primos que otros. Una forma precisa de esta heurística es el "Bateman-Cuerno" conjetura, que, huelga decirlo, es muy, muy abierta en el momento.