Este es el Ejercicio II.5.8 de Mac Lane, Categorías para el Trabajo Matemático.
Para la identidad functor $I_C$ de cualquier categoría, las naturales transformaciones $\alpha:I_C\dot{\to}I_C$ formar un conmutativa monoid. Encontrar este monoid en los casos $C=\mathbf{Grp}$, $\mathbf{Ab}$ y $\mathbf{Set}$.
Me enteré de que esta monoid se llama el centro de la categoría $C$, y yo voy a llamar a la es $Z(C)$. Mi problema era encontrar una buena caracterización de los centros de $\mathbf{Grp}$$\mathbf{Ab}$. Aquí está mi trabajo hasta el momento:
Observe que $\alpha:I_C\dot{\to} I_C$ es natural iff $\alpha_c$ conmuta con todas las flechas $f:c\to c$ por cada $c$ (en otras palabras, el iff $\alpha_c$ está en el centro de la monoid $\hom_C(c,c)$). En símbolos: $$Z(C)=\left\{\alpha:I_C\dot{\to}I_C \mid \forall c\in C, \forall f\in\hom_C(c,c), \alpha_c f=f\alpha_c\right\}\qquad (*)$$ Esto implica directamente que el centro de la $\mathbf{Set}$ es trivial (es decir, sólo contiene la unidad de transformación natural).
Sin embargo, esto no funcionará en $\mathbf{Grp}$$\mathbf{Ab}$, desde el monoid de endomorphisms de $\mathbb{Z}$ es conmutativa. Sin embargo, no cada dos endomorphisms de los grupos arbitrarios conmutar: Vamos a $G=F_2$, el grupo libre con dos generadores $a$$b$. Deje $f,g:F_2\to F_2$ ser morfismos tal que $f(a)=f(b)=ab$, $g(a)=g(b)=a$. A continuación,$fg(a)=f(a)=ab$, e $gf(a)=g(ab)=a^2$.
Dicho esto, la mejor descripción de $Z(C)$ $C=\mathbf{Grp}$ o $\mathbf{Ab}$, puedo dar en este momento es ($*$) como en el anterior. Qué sería de las mejores descripciones de $Z(\mathbf{Grp})$$Z(\mathbf{Ab})$?
PS: Ya me estoy auto-estudio, yo no la etiqueta de esta pregunta como "tarea".
