Covarianza del proceso estocástica gaussiana

Question

Podría alguien ayudarme a encontrar soluciones de los problemas siguientes?:

Deje $X = (X_t)_{t \geq 0}$ ser una Gaussiana, cero significa proceso estocástico a partir de $0$, es decir,$X_0 = 0$. Por otra parte, se asume que el proceso tiene incrementos estacionarios, lo que significa que para todos los $t_1 \geq s_1, t_2 \geq s_2, ... , t_n \geq s_n$, la distribución de los vectores $(X_{t_1} - X_{s_1} , ... ,X_{t_n} - X_{s_n})$ sólo depende de los puntos de tiempo a través de las diferencias $t_1 - s_1, ... , t_n - s_n$.

$(a)$

Demostrar que para todos los $s, t \geq 0$

$$EX_sX_t =1/2 (v(s) + v(t) - v(|t - s|))$$

en función de las $v$ está dado por $v(t) = EX^2_t$

$(b)$

Además de la estacionariedad de los incrementos ahora suponemos que $X$ $H$- auto similar para algún parámetro $H > 0$. Recordemos que esto significa que por cada $a > 0$, el proceso de $(X_{at})_t$ tiene el mismo finito dimensionales de las distribuciones de $(a^HX_t)_t$.

Muestran que la varianza de la función de $v(t) = EX^2_t$ debe ser de la forma $v(t) = Ct^{2H}$ para algunas constantes $C>0$.

$(c)$

En vista de la $(a),(b)$ ahora suponemos que $X$ es un valor cero Gauss proceso con la función de covarianza $EX_sX_t = 1/2(s^{2H} + t^{2H} - |t - s|^{2H})$ algunos $H > 0$.

Mostrar que debemos tener $H \leq 1$. (Sugerencia: puede usar por Cauchy-Schwarz, la (semi-)métrico $d(s, t) = \sqrt{ E(X_s - X_t)^2}$ $[0, 1)$ satisface la desigualdad de triángulo).

$(d)$

Mostrar que para$H = 1$,$X_t = tZ$.s., para una variable aleatoria normal estándar $Z$ no dependiendo de la $t$.

$(e)$

Demostrar que para cada valor del parámetro $H \in (0, 1]$, el proceso de $X$ tiene una continua modificación.

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Por ahora tengo algunas ideas acerca de $(a)$ $(d)$ pero no tienen ni idea acerca de $(b), (c), (e)$

Para $(a)$ mi razonamiento sería el siguiente:

$$EX_sX_t = E[(X_s-X_t)+X_t][(X_t - X_s)+X_s]$$ $$=-E(X_s-X_t)^2+E(X_s-X_t)X_s+EX_t(X_t-X_s)+EX_tX_s$$ $$=-E(X_s-X_t)^2+EX_s^2-EX_tX_s+EX_t^2-EX_tX_s+EX_tX_s$$

así, obtenemos

$$EX_sX_t=1/2 (v(s) + v(t) - E(X_s-X_t)^2)$$

pero, ¿cómo demostrar que $E(X_s-X_t)^2 = v(|t - s|)$?

Yo diría que si $s \leq t$ $E(X_s-X_t)^2 = E(X_{t-s}-X_0)^2= E(X_{t-s})^2=v(t - s)$ y por la simetría en el caso de $s \geq t$ obtenemos $E(X_s-X_t)^2 = v(|t - s|)$. Es esto correcto?

Para $(d)$ creo de esta manera:

Si $H=1$ $EX_sX_t = 1/2(s^{2H} + t^{2H} - |t - s|^{2H})$ simplyfies a $1/2(s^2 + t^2 - |t - s|^2)$ y esto es igual a $st$

en el otro lado

$EtZsZ=stEZ^2=st$ en el caso de $Z$ estándar de Gauss. Porque estamos hablando de Gauss proceso es descrito por decir $(=0)$ y la covarianza (pt) hemos terminado. Es este el camino correcto?

Como escribí anteriormente no tengo razonable ideas acerca de la $(b), (c), (e)$.

Answer 1

Para $(a)$ puede ser conveniente buscar en el lado derecho. Supongamos $t\geq s\geq 0$,$v(|t-s|)=v(t-s)=E[X_{t-s}^2]=E[(X_t-X_s)^2]$. Por lo tanto $$ \frac{1}{2}\left(v(t)+v(s)-v(|t-s|)\right)=\frac{1}{2}\left(E[X_t^2]+E[X_s^2]-E[(X_t-X_s)^2]\right)\\ =\frac{1}{2}\left(2E[X_tX_s]\right)=E[X_tX_s]. $$ Por otro lado, si $s>t\geq 0$, $v(|t-s|)=v(s-t)=E[(X_s-X_t)^2]$ e aquí los cálculos que se aplican.

Relativa $(b)$ tenemos que $a^H X_t\sim X_{at}$ por cada $t\geq 0$$a>0$. En particular $$ a^{2H}E[X_t^2]=E[(a^H X_t)^2]=E[X_{a}^2], $$ y, por tanto, $v(at)=a^{2H} v(t)$ es válido para cada $t\geq 0$$a>0$. Estoy bastante seguro de que la única función de la satisfacción de esta propiedad es la función de $t\mapsto Ct^{2H}$ para algunas constantes $C>0$. La positividad de $C$ es debido al hecho de que $t\mapsto v(t)$ no es una función negativa.

Para $(c)$ podemos usar que el pseudo-métrico $d(s,t)=\sqrt{E[(X_s-X_t)^2]}$ satisface la desigualdad de triángulo. Tenga en cuenta que $d(s,t)=\sqrt{v(|s-t|)}$ y $v(t)=t^{2H}$ en esta configuración. Ahora, el triángulo de la desigualdad dice que $$ d(s,t)\leq d(s,u)+d(u,t) $$ para cada $s,t,u\geq 0$. Por medio de la $v$ esto es $$ \sqrt{|s-t|^{2H}}\leq \sqrt{|s-u|^{2H}}+\sqrt{|u-t|^{2H}} $$ lo que implica $$ |s-t|^H\leq |s-u|^H+|u-t|^H $$ para cada $s,t,u\geq 0$. Esta desigualdad para sostener debemos tener $H\leq 1$.

Para $(d)$ tienes razón en que el uso de un proceso Gaussiano está determinada únicamente por su media y la covarianza de la función.