El producto de la esfera y el toro es paralelizable. ¿Cómo demostrarlo?

Question

El producto de la esfera y el toro es paralelizable. ¿Cómo demostrarlo? Ayudar a resolver esta cuestión, esto es calificar exámenes de la Universidad de Hopkins.

Answer 1

Deje $\tau$ ser la tangente paquete de $S^2$. Observar que $\tau\oplus 1\cong 3$ (de hecho, si añadimos a $\tau$ la normal de haz (para el estándar de la incrustación en el $\mathbb R^3$) - lo cual es trivial -- tenemos un trivial vector paquete; $n$ denota trivial $n$-dimensiones de paquete) y tangente paquete de $\mathbb T^2$ es trivial. Ahora vamos a $\pi_1\colon S^2\times\mathbb T^2\to S^2$ $\pi_2\colon S^2\times\mathbb T^2\to\mathbb T^2$ naturales, de las proyecciones; luego $$T_{S^2\times \mathbb T^2}=\pi_1^*T_{S^2}\oplus\pi_2^*T_{\mathbb T^2}=\pi_1^*\tau\oplus\pi_2^*2=\pi_1^*\tau\oplus 2=\pi_1^*(\tau\oplus1\oplus1)=\pi_1^*4=4.$$

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No puede resistir la adición de un bono: un corto de la primaria y la prueba de que un producto de esferas es parallelizable si uno de ellos es impar (E. B. Grapas, 1966).

Answer 2

Es suficiente para demostrar que $S^2\times T^1$ es parallelizable. Ello implicará la parallelizability de $S^2\times T^2$ siendo el producto de dos parallelizable colectores.

El problema general de la parallelizability de los productos de las esferas fue considerado en Maurizio Parton título de la tesis:

1. Como se ha mencionado en la tesis introducción: la parallelizability de $S^2\times T^1$ es un caso especial de un teorema de M. Kervaire.

2. En la tesis, una nueva parallelizability prueba fue dada para el caso más general de $S^n\times T^1$ por la construcción explícita (la Proposición 2.1.2).

La idea principal es la siguiente:

Deje $x = (x_i)$ ser el Eucledian coordenadas de $R^{n+1}$ y la esfera de $S^n$ dado por:

$ |x|^2 = \sum_i x_i^2 = 1$

$S^n\times T^1$ es diffeomorphic para el cociente colector $(R^{n=1}-0)/\Gamma$, donde el grupo $\Gamma$ es generado por el mapa de $x \mapsto e^{2\pi} x$. Luego de la proyección:

$ R^{n=1}-0 \rightarrow S^n\times T^1$

$x \mapsto (x/|x|, \log|x| \mod 2\pi)$

es $\Gamma$ equivariant, por lo tanto define una paralelización.