Fracción continua de $e^{-2\pi n}$

Question

Encontré este problema en una conocida página web de resolución de problemas. Al parecer es de Ramanujan.

Con $$\LARGE{a = \frac{1}{1 + \frac{e^{-2\pi}}{1 + \frac{e^{-4\pi}}{1 + \ddots}}}},$$ qué es $a$ ?

Los métodos básicos que conozco para preguntas de este tipo no me sirvieron.

No requiero una solución completa, pero siéntase libre de publicar una si lo desea. Se agradecerán consejos o notas de clase sobre cómo resolver problemas de esta naturaleza.

Hay que tener en cuenta que estoy en un nivel de licenciatura en matemáticas.

Answer 1

Esta es una de las fórmulas que Ramanujan envió a Hardy en una carta. Es una de las tres que, según Hardy, "me han derrotado por completo; nunca había visto nada en absoluto parecido a ellas. Una sola mirada es suficiente para mostrar que sólo pueden ser escritas por un matemático de la más alta clase. Deben ser verdaderas porque, si no lo fueran, nadie habría tenido la imaginación de inventarlas".

No hace falta decir que esto va mucho más allá del nivel universitario.