¿Podemos hacer $\tan(x)$ arbitrariamente cerca de un número entero cuando $x\in \mathbb{Z}$ ?

Question

Mi hijo de 7 años estaba mirando la gráfica de tan() y sus trazos serpenteantes que se repiten sin cesar en la recta numérica entre los múltiplos de $\pi$ y me hizo la pregunta del título. Más concretamente, ¿es verdadero o falso lo siguiente?

Para cualquier $\epsilon > 0$ existe alguna $N \in \mathbb{Z}^+$ tal que $|\tan(N)-\lfloor \tan(N) \rceil| < \epsilon$ .

Answer 1

Sí que puedes. De hecho, puedes hacer $\tan(N)$ arbitrariamente cerca de su número entero favorito.

Elige tu número entero favorito, que probablemente sea el 17. Considere $x=\arctan 17$ . Entonces $\tan(x)=17$ y también $\tan(x+n\pi)=17$ para todos los enteros $n$ . Si pudieras hacer $x+n\pi$ muy cerca de un número entero (por ejemplo $K$ ), entonces como la función tangente es continua, $\tan(K)$ estará muy cerca de los 17.

Así que el problema es ahora hacer $x+n\pi$ muy cerca de un número entero. Esto se puede hacer porque los múltiplos de $\pi$ (o cualquier número irracional) son densos mod 1, por lo que se puede hacer $n\pi$ arbitrariamente cerca de $-x$ mod 1. Esto requiere una prueba, pero es elemental: piense en un círculo de circunferencia 1, y comience a caminar alrededor del círculo, alrededor y alrededor, marcando un punto cada vez que su distancia total recorrida sea un múltiplo de $\pi$ . Verás que las marcas empiezan a rellenar el círculo y, a medida que avanzas, el intervalo más grande sin marca se va reduciendo. Finalmente, marcarás un punto que está dentro de $\epsilon$ de $-x$ .

Answer 2

Una navegación bastante aleatoria (y sin duda no relacionada) por la web ha dado como resultado este bonito y breve artículo de Cheng y Zheng lo que demuestra de forma muy constructiva que si $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ es cualquier función continua que es periódica con período irracional, entonces $f(\mathbb{N})$ es denso en $f(\mathbb{R})$ .

Las ideas se exponen primero con respecto a la función $f(x) = \sin x$ .

Su pregunta no es literalmente un caso especial, ya que $\tan x$ no es continua en todo el $\mathbb{R}$ . Sin embargo, creo que es lo suficientemente parecido como para que se apliquen los mismos métodos. (Por ejemplo, $\tan x$ puede verse como una función continua con valores en $\mathbb{R} \mathbb{P}^1 \cong S^1$ .) En cualquier caso, la relación es lo suficientemente estrecha como para que el documento sea de interés para los lectores de esta cuestión.