Inyectiva y Surjective Funciones

Question

Deje $f$ $g$ funciones $f\colon A\to B$$g\colon B\to C$. Demostrar o refutar las siguientes

a) Si $g\circ f$ es inyectiva, entonces $g$ es inyectiva

Aquí está la prueba de que esto es cierto. Vamos $A = \{4,5\}$, $B = \{3,9\}$, $C = \{1,2\}$ $f(4) = 3$; $f(5) = 9$ $g\circ f(4) = 1$ $g\circ f(5) = 2$ Ya que no hay 2 elementos de mapa para el mismo elemento en el rango de $g\circ f$ $g$ son tanto inyectiva.

b) Si $f$ $g$ son surjective, a continuación, $g\circ f$ es surjective.

Aquí está la prueba de que esto es cierto. Vamos $A = \{1,2\}$, $B = \{4\}$, $C = \{5\}$, $f(1) = 4$; $f(2) = 4$ $g\circ f(1) = 5$ $g\circ f(2) = 5$. Ya que no son elementos de la izquierda no asignados, a continuación, $g\circ f$ $f$ $g$ son surjective

Son estas pruebas válidas?

**Edit: Ok, así que he revisado mi prueba de una. Voy a refutar mediante un contraejemplo. Sea A = {4}, B = {3,9}, C={1}. g∘f(4) = 1 y g(3) = 1 y g(9) = 1 g∘f es inyectiva pero g no es inyectiva ya que a los 3 y 9 mapa 1. Es que una refutación válida?

Ahora estoy teniendo algunos problemas para refutar o probar b. Si alguien podría dar algunos consejos. También esto no es la tarea. Acabo de repasar para un examen.

Answer 1

La idea de una prueba matemática es que sin la dependencia de una entrada específica, si ciertas propiedades son verdaderas, entonces la conclusión también es verdadera.

En este caso, si la composición es inyectiva, entonces tiene que ser que el "exterior" de la función es inyectiva, y que si las funciones son surjective, a continuación, su composición es como tal.

Mostrando un caso concreto es un método válido para refutar una afirmación, ya que muestra que en un momento determinado las propiedades, pero la conclusión es falsa.

Por ejemplo, considere el$A=\{0\}$$B=\{1,2\}$$C=\{0\}$$f(0)=1$$g(1)=0, g(2)=0$.

La composición de la $g\circ f$ es una función de$A$$C$, ya que el $A$ es un singleton cada función es inyectiva. Sin embargo $g$ está claro que no es inyectiva.

Este es un contraejemplo a la demanda, lo desmienten.

La prueba de la segunda, si ambas funciones son surjective entonces también lo es su composición, veamos esto.

Deje $A,B,C$ cualquier conjuntos, y $f,g$ funciones. Para mostrar que $g\circ f$ es surjective queremos mostrar que cada elemento de a $C$ está en el rango de $g\circ f$. Suponga $c\in C$, entonces hay un elemento $b\in B$ tal que $g(b)=c$. Desde $f$ es surjective tenemos algunos $a\in A$ tal que $f(a)=b$. De ello se desprende que $g\circ f (a) = c$ y por lo tanto la composición de surjective funciones es surjective.

Ahora, considere la posibilidad de esta prueba. No había nada que limite la facultad. Yo no requieren nada de $A,B,C$ otros de ellos se establece, y yo no requieren nada de $f,g$ otros de ellos que son funciones desde/hacia el conjunto de la premisa de que la reclamación. Además, yo no revisar el surjective-dad de la composición mediante la elección de un determinado elemento. Las cogí y arbitrario de elementos, a partir de un conjunto que también fue arbitraria. El uso de este tipo de argumento nos asegura que la propiedad no es dependiente de ninguna de las características del conjunto (por ejemplo, algunas cosas que son verdad sólo en lo finito, o infinito, o de otros ciertos conjuntos). Esto nos permite tener una muy generales teorema. Siempre que tenemos tres conjuntos, y dos funciones que son surjective entre ellos, la composición es también surjective!

Answer 2

Teorema. Si $n$ es un número, a continuación,$n^2 = 2n$.

Prueba. Set $n = 2$. A continuación,$n^2 = 4$$2n = 4$. Por lo tanto,$n^2 = 2n$.

... Espera un segundo. Para $n=3$ tenemos que $3^2 = 9$, pero $2\cdot 3 = 6$, e $6\neq 9$. Así que la declaración no es válida después de todo! Se puede ver lo que salió mal?

Lo mismo se aplica para sus declaraciones. En vez de probar en un caso particular, debería prueba de ellos para cada posible $f$ $g$ usted puede pensar.

[editar] Aquí hay un poco de ayuda con el caso (b), le sugiero que deje de leer después de cada paso y tratar de completar la prueba usted mismo. Si no funciona, lea la siguiente pista.

• Tenemos que mostrar que $g\circ f$ es surjective. Dar cualquier $c\in C$, debemos mostrar que hay alguna $x\in A$ tal que $g(f(x)) = (g\circ f)(x) = c$.
• Sabemos que $g$ es surjective, por lo tanto existe cierta $b\in B$ tal que $g(b) = c$.
• Sabemos que $f$ es surjective, por lo tanto existe cierta $a\in A$ tal que $f(a) = b$.
• Ahora $c = g(b) = g(f(a))$.
• Llegamos a la conclusión de que tal $x$ existe de hecho, es precisamente el elemento $a$ que hemos construido.

Answer 3

Consideremos una declaración).

Esto se interpreta como

Si $f: A \to B $ $g: B \to C$ funciones $ g \circ f$ es inyectiva, entonces $g$ es inyectiva.

Si esta declaración fuera verdad,

esto significa que para cualquiera de las funciones de $f,g$ tal que $g \circ f$ es inyectiva éste debe ser el caso de que $g$ es inyectiva.

Lo que han hecho es una muestra de un ejemplo específico de $f$ $g$ para los que esto es cierto.

Así que, básicamente, que han demostrado:

Hay algunos $f$, $g$ tal que $g \circ f$ $g$ son inyectiva.

Considere la declaración:

"Si un perro tiene cuatro patas, entonces tiene una cola".

Para probar esto, usted tiene que demostrar que cada perro que tiene cuatro patas también tiene una cola.

Lo que han hecho es que han tomado sólo un ejemplo específico de un perro...

Ahora si que la declaración había sido

"Ningún perro de cuatro patas que tiene una cola".

A continuación, mediante la demostración de una de cuatro patas de perro con una cola, tiene desmiente esa afirmación.

Así que si usted puede encontrar un caso específico de $f$, $g$ tal que $g \circ f$ es inyectiva, pero $g$ es no, entonces usted tiene una prueba válida (prueba por el contra-ejemplo) que la afirmación es falsa.