¿Qué es una base para el espacio de Hilbert de un 1-D de la dispersión de estado?

Question

Supongamos que tengo una enorme de partículas en la mecánica cuántica no relativista. Su función de onda se puede escribir en la posición de base como

$$\vert \Psi \rangle = \Psi_x(x,t)$$

o en el impulso a la base como

$$\vert \Psi \rangle = \Psi_p(p,t)$$.

$\Psi_x$ $\Psi_p$ están relacionados unos con otros a través de una transformada de Fourier.

Sin embargo, si escribo $\vert \Psi \rangle$ como una integral sobre infinitamente muchos "posición base de vectores"

$$\vert \Psi \rangle = \int_{-\infty}^\infty \Psi_x(x)\vert x \rangle$$

a continuación, la posición de la base de vectores $\mid x \rangle$ son funciones delta de Dirac - ellos no son realmente funciones. Si tratamos de representar en el impulso base, podemos obtener no normalizable ondas planas. Estos vectores de la base no son miembros de la física espacio de Hilbert.

Mi pregrado cuántica texto explica que los deltas de Dirac y las ondas planas son herramientas de cálculo y demuestra su uso. Los deltas de Dirac no representan a los verdaderos wavefunctions. Un real de las partículas con baja posición de incertidumbre, simplemente, tienen una función de onda con un alto pero finito pico.

Estoy bien con esto, yo creo entender cómo hacer los cálculos y lo que significan. Sin embargo, todavía estoy seguro de cómo encontrar una base para la física espacio de Hilbert que consta de los vectores de la realidad en el espacio.

En un estado asociado con la no degeneración, la energía funciones propias formar una base. La física espacio de Hilbert, a continuación, se compone de todas las combinaciones lineales de las funciones propias de la energía. Sin embargo, cuando nos movemos a una dispersión de estado, el espectro de autovalores de la energía se convierte en continua y las funciones propias de la energía no normalizable porque son esencialmente el mismo que el plano de la onda de impulso funciones propias.

Debido a la dispersión de estado tiene un físico espacio de Hilbert de normalizable wavefunctions, ¿no debería ser capaz de encontrar una base que consiste de los elementos de la física espacio de Hilbert sí mismo, incluso si esta base no es conveniente para los cálculos?

Hay un ejemplo de una base para una partícula libre?

Answer 1

Si he entendido bien, tu pregunta básicamente se reduce a la identificación de una base para el espacio de cuadrado integrable funciones, $L^2(\mathbb{R})$, desde cualquier estado físico $|\Psi\rangle$ puede ser construido mediante la realización de la integral que aparece en su pregunta con una función $\Psi_x(x)\in L^2(\mathbb{R})$. $L^2$ es conocido por ser un espacio vectorial, por lo que de base tiene que existir. La parte superior de mi cabeza, creo, un ejemplo sería

$$f_k(x) = e^{-x^2/a^2 - ikx}$$

que es el plano normal de la onda de base $e^{-ikx}$ multiplicado por una Gaussiana de la envolvente $e^{-x^2/a^2}$ donde $a$ es una constante. Multiplicando por esta envolvente Gaussiana se asegura de que las funciones de cuadrado integrable, pero desde que uso el mismo sobre para cada elemento de la base, puedes factor de la transformada de Fourier, por lo que no cambiar cualquiera de las propiedades esenciales de impulso-espacio de descomposición.

P. S. he encontrado una pregunta acerca de las matemáticas.SE que parece, y lo que motivó a esta respuesta.

Answer 2

Puede ampliar la función en $L^2(R)$ el (no necesariamente normalizable) eigenbasis de un arbitrario de Hamilton. Así que usted sólo tiene que elegir uno con un espectro discreto. Entonces los vectores propios son normalizable, y su expansión es una suma. (El espacio de Hilbert es el mismo para todos los nonsingular Hamiltonianos con uno dof, acaba de ampliar en maneras diferentes para obtener diferentes de la física.)

Answer 3

Las funciones propias de un auto adjunto del operador se encuentran fuera del espacio de Hilbert de cuadrado integrable funciones en la línea. Una solución es trabajar con una base de funciones propias de un no-yo adjunto del operador, tales como $x+ip$. Por supuesto, estos son coherentes estados. Para la coherente estados, uno tiene un ovecomplete base y una partición de la unidad, por lo que no es difícil de descomponer cualquier vector en $L^2(\mathbb{R})$.

Otra opción es trabajar con un amañado espacio de Hilbert, que es una formalización de Dirac bra y ket método. Una muy buena exposición de manipulado de Hilbert espacios se da en Francois Gieres' el artículo. De acuerdo con esta opción, se trabaja con los estados propios de la posición del operador, pero se acuerda de que no pertenecen al espacio de Hilbert, sino más bien un espacio de Banach, que contiene también las distribuciones.