¿Qué es $\sum\limits_{i=1}^n \sqrt i\ $?

Question

¿Qué es $\sum\limits_{i=1}^n\sqrt i\ $?

También me di cuenta de que $\sum\limits_{i=1}^ni^k=P(n)$ donde $k$ es un número natural y $P$ es un polinomio de grado $k + 1$. ¿Que también tiene para cualquier número real positivo? ¿Cómo se podría probar?

Answer 1

$$ \sum_{i=1}^n\sqrt{i}=f(n) $$

$$ \sum_{i=1}^{n-1}\sqrt{i}=f(n-1) $$

$$ f(n)-f(n-1)=\sqrt{n} \tag 1$$

Sabemos expansión de Taylor

$$ f(x+h)=f(x)+hf'(x)+\frac{h^2 f"(x)}{2!}+\frac{h^3f"'(x)}{3!}+.... $$

Así

$$ f(n-1)=f(n)-f'(n)+\frac{f(n)}{2!}-\frac{f"'(n)}{3!}+.... $$

$$ f(n)-f(n)+f'(n)-\frac{f(n)}{2!}+\frac{f"'(n)}{3!}-....=\sqrt{n} $$

$$ f'(n)-\frac{f(n)}{2!}+\frac{f"'(n)}{3!}-...=\sqrt{n} $$

$$ f(n)-\frac{f(n)}{2!}+\frac{f"(n)}{3!}-...=\int \sqrt{n} dn $$

$$ f(n)-\frac{f(n)}{2!}+\frac{f(n)}{3!}-\frac{f"'(n)}{4!}...=\frac{2}{3}n^\frac{3}{2} +c $$

$$ \frac{1}{2} ( f'(n)-\frac{f(n)}{2!}+\frac{f"'(n)}{3!}-...)=\frac{1}{2}\sqrt{n} $$

$$ f(n)+ (-\frac{1}{2.2} +\frac{1}{3!})f"(n)+(\frac{1}{2.3!} -\frac{1}{4!})f"'(n)=\frac{2}{3}n^\frac{3}{2}+\frac{1}{2}\sqrt{n}+c $$

$$ f"(n)-\frac{f"'(n)}{2!}+\frac{f^{4}(n)}{3!}-...)=\frac{d(\sqrt{n})}{dn}=\frac{1}{2\sqrt{n}} $$

Si sigue en este camino que cancelar $f^{r}(n)$ términos paso por paso, usted recibirá

$$ f(n)=c+\frac{2}{3}n^\frac{3}{2}+\frac{1}{2}\sqrt{n}+a_2\frac{1}{\sqrt{n}}+a_3\frac{1}{n\sqrt{n}}+a_4\frac{1}{n^2\sqrt{n}}+.... $$

Usted puede encontrar $a_n$ constantes por parte de los números de Bernoulli, por favor consulte Euler-Maclaurin de la fórmula. Yo sólo quería mostrar el método. http://planetmath.org/eulermaclaurinsummationformula

También se puede aplicar el mismo método para $\sum_{i=1}^n(i^k)=P(n)$, $k$ es cualquier número real .

usted puede obtener

$$ \sum_{i=1}^n(i^k)=P(n)=c+\frac{1}{k+1}n^{k+1}+\frac{1}{2}n^{k}+b_2kn^{k-1}+.... $$

$$ P(1)=1=c+\frac{1}{k+1}+\frac{1}{2}+b_2k+.... $$

$$ =c=1-\frac{1}{k+1}-\frac{1}{2}-b_2k+.... $$

Answer 2

La comparación de esta cifra con una de Riemann integral de los rendimientos $$ \frac1{n\sqrt{n}}\sum_{i=1}^n\sqrt{i}=\int_0^1\sqrt{t}\mathrm dt+\sum_{i=1}^n\int_{(i-1)/n}^{i/n}(\sqrt{i/n}-\sqrt{t})\mathrm dt, $$ es decir, $$ \frac1{n\sqrt{n}}\sum_{i=1}^n\sqrt{i}=\frac23+\frac1{n\sqrt{n}}\sum_{i=1}^n\int_0^1(\sqrt{i}-\sqrt{i-t})\mathrm dt, $$ o, $$ \sum_{i=1}^n\sqrt{i}=\frac23n\sqrt{n}+\sum_{i=1}^na_i,\qquad a_i=\int_0^1(\sqrt{i}-\sqrt{i-t})\mathrm dt. $$ Tenga en cuenta que, cuando $i\to\infty$, $$ a_i=\int_0^1\frac{t}{\sqrt{i}+\sqrt{i-t}}\mathrm dt\sim\frac1{2\sqrt{i}}\int_0^1t\mathrm dt\sim\frac1{4\sqrt{i}}, $$ y que la serie $\sum\limits_i\frac1{4\sqrt{i}}$ diverge, por lo tanto $$ \sum_{i=1}^na_i\sim\sum_{i=1}^n\frac1{4\sqrt{i}}\sim\int_0^n\frac{\mathrm dt}{4\sqrt{t}}=\frac12\sqrt{n}. $$ El uso de este equivalente en la fórmula anterior, se obtiene $$ \sum_{i=1}^n\sqrt{i}=\frac23n\sqrt{n}+\frac12\sqrt{n}+o\left(\sqrt{n}\right)=\frac23n\sqrt{n+\frac32}+o\left(\sqrt{n}\right). $$

Answer 3

Puesto que usted no ha recibido una respuesta, puedo dirección del primer bit de la pregunta con una buena aproximación,

$$\sum\limits_{i=1}^{n} \sqrt{i} \approx \frac{2}{3}n \sqrt{\frac{5}{4} + n}$$

Esta aproximación no es sorprendente, teniendo en cuenta el hecho de que

$$\int\limits_{1}^{n} \sqrt{t} dt = \frac{2}{3} \left( n^{3/2} - 1\right).$$

Los datos parecen,

$$\newcommand\T{\Rule{0pt}{1em}{.3em}} \begin{array}{|l|l|} \hline {\rm n} & \sum\limits_{i=1}^n\sqrt {i} & \tfrac23n\sqrt{\tfrac54+n} \T \\\hline 1 \T & 1 & 1 \\\hline 5 \T & 8.382 & 8.333 \\\hline 10 \T & 22.468 & 22.361 \\\hline 25 \T & 85.634 & 85.391 \\\hline 50 \T & 239.04 & 238.63 \\\hline 100 \T & 671.4 & 670.82 \\\hline 200 \T & 1892.5 & 1891.5 \\\hline 500 \T & 7464.5 & 7462.9 \\\hline 10000 \T & 666716 & 666708 \\\hline \end{array}$$

Answer 4

El uso de la de Euler-Maclaurin de la Suma de la Fórmula, se obtiene la expansión asintótica para $\displaystyle\sum_{i=1}^n\sqrt{i}$ : $$ \frac23n^{3/2}+\frac12n^{1/2}+\zeta\left(-\frac12\right)+\frac1{24}n^{-1/2}-\frac1{1920}n^{-5/2}+\frac1{9216}n^{-9/2}+O\left(n^{-13/2}\right) $$ donde $\zeta\left(-\frac12\right)=-\frac{1}{4\pi}\zeta\left(\frac32\right)\doteq-0.20788622497735456602$.

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Como se describe en esta respuesta, por $\mathrm{Re}(z)\gt-1$, $$ \zeta(z)=\lim_{n\to\infty}\left(\sum_{k=1}^nk^{-z}\;-\;\left(\frac{1}{1-z}n^{1-z}+\frac12n^{-z}\right)\right) $$ La fórmula anterior está de acuerdo por $\mathrm{Re}(z)\gt1$ y el límite es analítica.

Dejar que $z=-\frac12 de dólares, de los rendimientos que la constante de Euler-Maclaurin Fórmula de la Suma es de $\zeta\left(-\frac12\right)$.

Answer 5

Entrar en la consulta en WolframAlpha (consulta sum i=1 to n of sqrt(i)) da dos respuestas:

1. Por la definición de la generalizada armónica de los números, la suma es el número armónico $H_{n,{-\frac{1}{2}}}$
2. $-\zeta\left(-\frac{1}{2}, n+1\right)-\frac{\zeta\left(\frac{3}{2}\right)}{4 \pi}$ donde $\zeta$ es el Hurwitz función zeta