El $n$ complejas $n$th raíces de un número complejo $z$

Question

Supongamos $z$ es un número complejo distinto de cero, por lo $z=re^{i\theta}$. Demostrar que no son sólo $n$ complejo distinto $n$-th raíces, dado por $r^{1/n}e^{i(2\pi k+\theta)/n}$$0\leq k\leq n-1$.

Mi prueba: Deje $z=re^{i\theta}\in\mathbb{C}$ $a\in\mathbb{C}$ s.t. $a^{n}=z$. Deje $a=\rho e^{i\varphi}$. A continuación, $a^{n}=(\rho e^{i\varphi})^{n}$. Establecimiento $\rho^{n}e^{i\varphi n}=re^{i\theta}$ y volver a escribir en forma polar, obtenemos $$\rho^{n}(\cos(n\varphi)+i\sin(n\varphi))=r(\cos(θ)+i\sin(\theta)).$$ Thus $\rho^{n}=r$ $\rightarrow$ $\rho=r^{1/n}$ and $n\varphi=\theta\rightarrow\varphi=\theta/n$. Thus the roots of $a\in\mathbb{C}$ have the form $$r^{1/n}(\cos(\tfrac{\theta}{n})+i\sin(\tfrac{\theta}{n}))=r^{1/n}(\cos(\tfrac{\theta}{n}+2\pi j)+i\sin(\tfrac{\theta}{n}+2\pi j))$$ for some $j\in\mathbb{Z}$ due to the periodicity of trig functions. Then, $$r^{1/n}(\cos(\tfrac{\theta}{n}+2\pi j)+i\sin(\tfrac{\theta}{n}+2\pi j))=r^{1/n}e^{i\left(2\pi j+\tfrac{\theta}{n}\right)}=r^{1/n}e^{i(\theta+2\pi k)/n}$$ for $0\leq k\leq n-1 ,j=nk\in\mathbb{Z} $.

Me siento como que podría ser una manera más concisa para poner esto.

Answer 1

Si por concisa, que implica la brevedad que se refiere el mismo mensaje que puede deshacerse de su sección en la re-escribir en forma polar. Cuando usted tiene $$ \rho^n\exp (\varphi) = r\exp(i\theta), $$ podemos saltar directamente a $\rho^n = r$$n\varphi = \theta + 2k\pi$$k,n\in\mathbb{Z}$, lo $\rho = r^{1/n}$$\varphi = \frac{\theta + 2k\pi}{n}$. Ahora, podemos pasar directamente a la final pensé que el $n$-th raíces son $$ w_k = r^{1/n}\exp\biggl[\frac{i(\theta + 2k\pi)}{n}\biggr] $$ donde $0\leq k < n-1$. Si usted quiere ser claro acerca de la gama de $k$, se puede decir al$k = n$, $\theta/n + 2\pi=\theta/n$ ya que la exponencial es periódica $f(\theta) = f(\theta + 2\pi)$.