Uniforme de la continuidad de la $f(x)=x^{\frac{2}{3}}\log x$ $[0, \infty)$

Question

Deje $f$ ser una verdadera valores de la función en $[0,\infty)$ definido por

$$f(x)= \begin{cases} x^{\frac{2}{3}}\log x & \text{ if } x>0 \\ 0 & \text{ if } x= 0 \end{casos}$$

A continuación, cuál de las siguientes es verdadera?

A. $f$ es discontinua en a $x=0$.

B. $f$ es continua en a $[0,\infty)$, pero no uniformemente continua en a $[0,\infty)$.

C. $f$ es uniformemente continua en a $[0,\infty)$.

D. $f$ no es uniformemente continua en a $[0,\infty)$, pero uniformemente continua en a $[1,\infty)$.

Pude ver que $f(x)=x^{\frac{2}{3}}\log x$ es continua en a $x=0$

Pero para uniformes de continuidad pensé acotamiento de la derivada, sería de ayuda

Pero me he encontrado con $f'(x)=\frac{2}{3}x^{-\frac{1}{3}}\log x + x^{-\frac{1}{3}}$

Esta $f'(x)$ no está limitado, así que no puedo decir cualquier cosa acerca de uniforme contunuity.

Por favor me ayude a borrar este.

Gracias :)

P. S : Esto ya fue hecho antes (Uniforme de la continuidad de la $f(x)=x^{\frac{2}{3}}\log x$ otra persona, pero no tenía la suficiente información por lo que consiguió cerrado. He intentado editar la pregunta, pero alguien dijo que yo no debería editar OP para añadir más detalles. Tenía miedo de que puede estar en contra de las reglas de MSE. Así, pensé que deben pedir por separado con mis propias ideas.

Answer 1

Se demostró que la función de $f$ es continua en a $[0,1]$, por lo tanto uniformemente continua en a $[0,1]$. La expresión de $f'$ que usted proporcionó, además de la desigualdad de $\log u\leqslant u$ que se aplica a $u=x^{1/3}$, el rendimiento de $0\leqslant f'(x)\leqslant3$ por cada $x\geqslant1$, por lo tanto $f$ es uniformemente continua en a $[1,+\infty)$. Ergo.