Usted pregunta "¿qué Hice mal en algún lugar...?" Estoy teniendo problemas para seguir en una serie de puntos en tu post, el cual puede ser un signo de que algo está mal, o al menos de algunas cosas que deben ser aclaradas.
Usted dice
El número de devolución de caminos en 3-regular los gráficos de longitud $r$ sin retroceso puede ser escrito como $2^{-r/2}p_r(x/\sqrt{2})$ que es un Polinomio de Chebyshev de la Segunda Clase $U_r(x)$.
Pero no, en lugar de decir que el número de devolución de caminos en $3$-regular los gráficos de longitud $r$ sin retroceso es un elemento diagonal de $p_r(A)$ donde $p_r(x)$ es el polinomio generado por la recurrencia a Chris Godsil respuesta y $A$ es la matriz de adyacencia del grafo? No estoy seguro de lo que su original redacción podría decir, ya que no se ha definido $x$.
Chris Godsil post se hace la afirmación de que $2^{-r/2}p_r(x/\sqrt{2})=U_r(x)$ donde $U_r(x)$ es el polinomio de Chebyshev de la segunda clase. Como he señalado en el comentario a ese post, la demanda no es la correcta para un par de razones.
Suponiendo que algo así como la afirmación es verdadera, y presionando hacia adelante, llegamos a la generación de la función de los polinomios de Chebyshev de que usted cita de la MathWorld página. Como yo lo entiendo, de conectar la matriz de adyacencia $A$$x$. Si usted hace esto, los polinomios convertido en polinomios en $A$, los cuales son, por tanto, la matriz de valoración, y la generación de función, que es una suma de la matriz de valores de los polinomios con coeficientes escalares $t^r$, es también la matriz de valoración. Pero, a continuación, escribir
A continuación, el resultado debe ser igual a
$$
\frac1{\operatorname{det}(I-A+\frac {t^2}2I)}\etiqueta{11}.
$$
donde el denominador representa un polinomio $P_{A}(t)$.
En esta expresión, el denominador es un factor determinante, que es un escalar, no una matriz. Algo así parece incoherente aquí. Ni siquiera estoy seguro de que el factor determinante es que viene de: no es determinante en la MathWorld fórmula que usted cita.
Añadido: no Es claro para mí lo que la conexión entre la generación de la función de los polinomios de Chebyshev y la Ihara zeta función que están tratando de hacer. Tal vez la expansión en este punto, sería de ayuda. Un problema que puedo ver es que el retorno de caminos sin retroceso no son exactamente los mismos que los caminos que se producen en la definición de la Ihara zeta función,
$$
\zeta_G(t)=\prod_P(1-t^{L(P)})^{-1},
$$
donde $L(P)$ es la longitud de $P$. El índice de $P$ en el producto funciona, no más de backtrackless regresar caminos, sino en clases de equivalencia de tales caminos, donde dos caminos se consideran equivalentes si uno es una permutación cíclica de los otros. Desde los caminos enumerados por el Chebyshev expresión se han especificado de inicio y finalización de los vértices (incluso en la devolución de los casos), equivalente caminos será contado varias veces en esa enumeración, en lugar de sólo una vez.
Segundo, además: a partir De la recurrencia
$$
p_{n+1}(x)=xp_n(x)-2p_{n-1}(x),
$$
que tiene por $n\ge2$, y las condiciones iniciales $p_0(x)=1$, $p_1(x)=x$, y $p_2(x)=x^2-3$, se puede obtener la generación de la función de $p_n(x)$. Vamos
$$
G(t,x)=p_0(x)+p_1(x)t+p_2(x)t^2+p_3(x)t^3+\ldots.
$$
Entonces
$$
\begin{aligned}
G(t,x)-txG(t,x)+2t^2G(t,x)=&p_0(x)+p_1(x)t+p_2(x)t^2+p_3(x)t^3+\ldots\\
&-(xp_0(x)t+xp_1(x)t^2+xp_2(x)t^3+\ldots)\\
&+(2p_0(x)t^2+2p_1(x)t^3+2p_2(x)t^4+\ldots)\\
=&p_0(x)+[p_1(x)-xp_0(x)]t+[p_2(x)-xp_1(x)+2p_0(x)]t^2\\
&+[p_3(x)-xp_2(x)+2p_1(x)]t^3+[p_4(x)-xp_3(x)+2p_2(x)]t^3+\ldots\\
=&1-t^2.
\end{aligned}
$$
La división da
$$
G(t,x)=\frac{1-t^2}{1-xt+2t^2}.
$$
Este no es el mismo que el de su expresión, pero su validez no depende de la resolución de la discrepancia entre Chris Godsil y mis expresiones para $p_n(x)$ en términos de polinomios de Chebyshev; se deriva enteramente de la recurrencia y de las condiciones iniciales en Chris Godsil post, y no usa su ni mi forma cerrada de la expresión. Es curioso que el denominador es ahora mucho más similar a lo que aparece en el factor determinante de la fórmula para el Ihara zeta función.
Tercer además: A la dirección de tu pregunta en los comentarios acerca de por qué la generación de la función anterior es diferente de la generación de la función de los polinomios de Chebyshev de la segunda clase, una posible respuesta es que $p_n(x)$, aunque relacionadas con el polinomio de Chebyshev de la segunda clase, no es el polinomio de Chebyshev de la segunda clase, y por lo tanto tiene un diferentes de generación de función. Como he interpretado a su pregunta, sin embargo, se estaba preguntando por qué, a partir de la MathWorld la generación de la función de los polinomios de Chebyshev de la segunda clase y la realización de las manipulaciones que ha realizado, no terminan con la misma expresión que yo. En respuesta a esto, hay varias cosas que deben ser dichas. La respuesta es triple:
- porque hay un error en Chris Godsil cambio de variable que se relaciona $p_n(x)$ a los polinomios de Chebyshev;
- debido a que su cálculo basado en Chris Godsil expresión contenía un error, al menos si estaban tratando de hacer lo que creo que estaba tratando de hacer;
- debido a $p_n(x)$, después de que el cambio de variable, satisface las condiciones iniciales diferentes que los polinomios de Chebyshev de la segunda clase.
En primer lugar, asegúrese de comprender la idea general detrás de mi derivación anterior de la función racional de la expresión para la generación de la función de $p_n(x)$. Se puede ver que los coeficientes de $t^0$, $t^1$, $t^2$ en el denominador de la función racional va a ser el mismo que el de los coeficientes de $p_{n+1}$, $p_n$, $p_{n-1}$ en la recurrencia. Esta es una declaración general: los coeficientes en la recurrencia de determinar la forma del denominador; el numerador es determinado por las condiciones iniciales.
Así, en el racional de la generación de la función de $U_n$, los coeficientes de $t^0$, $t^1$, $t^2$ en el denominador se $1$, $-2x$, $1$; en la recurrencia de $p_n$, estos coeficientes son $1$, $-x$, $2$. Tenemos que explicar por qué obtener los coeficientes $1$, $-x$, $1/2$, que son diferentes a las de cualquiera. Esto se deriva de dos errores. Una de ellas es que Chris Godsil estados que $2^{-n/2}p_n(x/\sqrt{2})$ es un polinomio de Chebyshev de la segunda clase, que es un mal cambio de variable (y también refleja mal las condiciones iniciales, pero eso es un tema aparte). Supongamos, por el momento, que esta expresión eran correctos (o $p_n(x)$ fueron alguna otra función que estaban relacionados con los polinomios de Chebyshev de la segunda clase de esta manera). Eso significaría, por una derivación similar a la anterior, que la función
$$
H(t,x)=p_0(x/\sqrt{2})+2^{-1/2}tp_1(x/\sqrt{2})+2^{-1}t^2p_2(x/\sqrt{2})+\ldots
$$
sería igual a una función racional con denominador $1-2xt+t^2$. Lo que si ahora quería encontrar a la generación de la función de $p_n(x)$,
$$
G(t,x)=p_0(x)+tp_1(x)+t^2p_2(x)+\ldots?
$$
(Supongo que esto es lo que desea calcular; la generación de la función de $p_n(A)$ parece ser la más probable de la cantidad a ser relacionados con el Ihara zeta función, ya que es $p_n(A)$ y no los polinomios se obtiene mediante el cambio de variable que se relacionan con los trazados reales.) Usted debe ser capaz de ver que $G(t,x)=H(2^{1/2}t,2^{1/2}x)$, y, por tanto, que el $G(t,x)$ va a ser una función racional con denominador $1-4xt+2t^2$. La razón por la que no recibió este es que reemplazó $t$ $x$ $H(t,x)$ $2^{-1/2}t$ $2^{-1/2}x$ en lugar de con $2^{1/2}t$$2^{1/2}x$.
Pero el cambio de variable no fue la correcta, en el primer lugar. Es la función de $2^{-n/2}p_n(2^{3/2}x)$ que satisface la Chebyshev recurrencia, no $2^{-n/2}p_n(x/\sqrt{2})$. Por lo tanto el denominador de la racional, la generación de la función de $p_n(x)$ será igual a la de $H(2^{1/2},2^{-3/2}x)$. Se puede comprobar que este denominador es $1-xt+2t^2$, como en mi derivación anterior.
Por último, tenemos que explicar por qué el numerador en mi expresión es $1-t^2$ en lugar de $1$. Usted puede ver a partir de las derivaciones que esto es debido a que $p_2(x)-xp_1(x)+2p_0(x)$ no es igual a $0$ sino $-1$, la cual se deriva del hecho de que $p_2(x)$ no está relacionado con el $p_1(x)$ $p_0(x)$ por la misma recurrencia como $p_n(x)$ está relacionado con $p_{n-1}(x)$$p_{n-2}(x)$$n>2$. (Véase la derivación anterior: todas las expresiones $p_n(x)-xp_{n-1}(x)+2p_{n-2}(x)$ $n>2$ desvanecerse.)
Lo siento si parece que sigo insistiendo reiteradamente en los mismos puntos una y otra vez. No estoy seguro de por qué no hemos sido capaces de hierro de estos temas.
