¿Por qué podría Dieudonné haber estado "mendigando la cuestión" al apelar a los axiomas de Peano de segundo orden?

Question

Tras un comentario de Peter Smith He estado leyendo el artículo de A. R. D. Mathias La ignorancia de Bourbaki .

Algunas partes del documento están por encima de mi capacidad, pero lo entiendo lo suficientemente bien para mis propios fines de aficionado, aparte de una frase.

El contexto es una cita de la obra de Dieudonné Panorama de las matemáticas puras (1982):

Los primeros tratamientos axiomáticos (aritmética de Dedekind-Peano, geometría de Euclides de Hilbert) trataban de teorías univalentes , es decir, teorías que están totalmente determinadas por su sistema completo de axiomas, a diferencia de la teoría de grupos.

El comentario de Mathias sobre este pasaje termina con la siguiente frase, que me desconcierta:

Al decir que la aritmética de Peano es univalente, Bourbaki probablemente tiene en mente alguna caracterización de segundo orden del modelo estándar de la aritmética, lo que es, por supuesto, plantear la cuestión.

Sólo puedo imaginar que quiere decir que incluso los axiomas de segundo orden no pueden sostenerse por sí mismos, porque cualquier versión de los axiomas de Peano tiene dos prerrequisitos ocultos:

1. Referencia a una versión particular (pero no mencionada) de la teoría de conjuntos.

2. Referencia a un "modelo estándar de aritmética", cuya existencia y unicidad se dan silenciosamente por sentadas (con lo que se "plantea la cuestión" en un sentido más simple que en el punto 1).

Pero ninguna de estas ideas me queda realmente clara, ni tengo idea de si el autor está aludiendo a alguna de ellas, a ambas o a ninguna.

(Cuando uno está confundido, es difícil explicar la forma precisa en que lo está).

Si el significado de la frase citada no es obvio para los demás, consideraré la posibilidad de preguntárselo al propio autor por correo electrónico, pero me pone un poco menos nervioso publicar una pregunta aquí, y quizá una respuesta a la pregunta aquí también interese a los demás.

El artículo trata del punto ciego de Bourbaki en relación con la evolución de la lógica desde 1929. Como mis propios puntos ciegos son incomparablemente más graves que cualquiera de los de Bourbaki, ¡es perfectamente posible que no entienda una explicación perfectamente buena del significado de la frase anterior!

Pero estaré suficientemente satisfecho con una respuesta que reduzca mi actual desconcierto, por una frase en un artículo por lo demás inteligible, a una perplejidad más familiar sobre las propias matemáticas.

Answer 1

Al decir que la aritmética de Peano es univalente, afirman que sólo hay un modelo de aritmética de Peano (hasta el isomorfismo). Pero no es así, ya que existen modelos no estándar de aritmética. Sin embargo, los axiomas de Peano de segundo orden son categóricos. Así que la afirmación tiene sentido si tenían en mente una axiomatización de segundo orden. Pero veamos el siguiente comentario de Mathias:

Mi lectura de todos estos extractos es que Bourbaki había captado el valor positivo del trabajo de Hilbert Hilbert y su escuela, y acogió con satisfacción la idea de la reducción de la cuestión de la corrección de las matemáticas a un conjunto de reglas. matemáticas a un conjunto de reglas, pero persistió, incluso después de que la obra de Gödel demostrara que el programa de Hilbert nunca podría completarse, en pensar en la lógica y en la matemática. que el programa de Hilbert nunca podría ser completado, en pensar en la lógica y la teoría de conjuntos como cosas que se asientan en el Volumen Uno y luego se olvidan.

Así que, básicamente, al encontrar su camino a la unicidad de la aritmética verdadera, interpreta esta apelación a los axiomas de segundo orden como la negación de todas las sutilezas introducidas por la incompletitud, equiparando "verdadero" y "demostrable". Aunque este punto de vista erróneo puede seguir funcionando de algún modo cuando se piensa en la aritmética, fracasa estrepitosamente cuando se aplica a la teoría de conjuntos, lo que hace que la postura sea bastante insostenible. El autor explica a continuación que este error matemático tiene su origen en la tradición filosófica francesa.

Pero sea cual fuere la razón, el hecho es que no dieron cabida a los teoremas de incompletitud de Gödel en su visión de las matemáticas: y ninguna explicación sociológica o psicológica de la resistencia de Bourbaki a las ideas de Gödel puede resolver las dificultades matemáticas y filosóficas presentadas por el trabajo de Gödel a los creyentes en el programa de Hilbert.

Answer 2

La AP de segundo orden (2oPA) es "univalente" aka categórica, en el sentido fuerte de que, cuando se utiliza la semántica estándar, "completa" de 2º orden, su único modelo es el modelo estándar de la aritmética. Lo único de "segundo orden" en 2oPA es el axioma de inducción, que ya no es un esquema sino una única sentencia que cuantifica sobre todos subconjuntos. En la semántica "completa" de 2º orden, "todos los subconjuntos" significa realmente eso, mientras que en la semántica de Henkin, el cuantificador de conjuntos de 2º orden abarca simplemente los conjuntos del modelo que forman una colección cerrada con las operaciones requeridas (unión, intersección, complemento, proyección, etc.) pero que puede no ser el conjunto de potencias completo.

Como ha observado, la semántica completa de 2º orden hace referencia implícita a una teoría de conjuntos de fondo, no una "versión" de la teoría de conjuntos, sino un modelo. $M$ de la teoría de conjuntos (en concreto, su conjunto de potencias de $\omega$ , $\mathcal{P}(\Bbb \omega)^M = \mathcal{P}(\Bbb \omega)\cap M$ ). Sin embargo, la noción de (/el) modelo estándar de la aritmética no es controvertida. Si no podemos ponernos de acuerdo sobre lo que está y lo que no está "ahí", entonces no podremos ponernos de acuerdo en mucho más, y no tendremos una metateoría de nada.

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A los lectores que les gustó el citado artículo de Adrian Mathias también les gustó su continuación, Un término de longitud 4.523.659.424.929 . Resumen : Bourbaki sugieren que su definición del número 1 alcanza algunas decenas de miles de símbolos. Demostramos que se trata de una subestimación considerable, ya que el verdadero número de símbolos es el del título, sin contar 1.179.618.517.981 enlaces desambiguadores.

Answer 3

Comentario a la respuesta de Graffitics.

La cita es de:

• Nicolas Bourbaki, Arquitectura matemática en François Le Lionnais (ed.), Las principales corrientes del pensamiento matemático (1948), página 45. Véase Engl.transl. página 35.

La cuestión no es (a mi entender) la axiomatización de primer orden frente a la de segundo orden.

Bourbaki está discutiendo las nociones (seminales) de método axiomático y de estructura :

página 40 - trad. inglesa, página 28 - Ahora podemos aclarar qué se entiende, de manera general, por una estructura matemática . [...] Hacer la teoría axiomática de una estructura dada es deducir las consecuencias lógicas de los axiomas de la estructura, absteniéndose de cualquier otra hipótesis sobre los elementos considerados (en particular, cualquier suposición sobre su propia "naturaleza").

página 41 - Las relaciones que constituyen el punto de partida para la definición de una estructura pueden ser estructura pueden ser de naturaleza muy variada. La que interviene en estructuras de grupo es lo que se denomina "ley de composición", es decir, una relación entre tres elementos que determinan de manera única al tercero de manera única en relación con los dos primeros. Cuando las relaciones que definen una estructura estructura son "leyes de composición", la estructura correspondiente se denomina se denomina estructura algebraica .

página 43 - Guiados por la concepción axiomática, intentemos representar todo el universo matemático. Por supuesto, difícilmente reconoceremos el el orden tradicional, que, como el de las primeras nomenclaturas de las especies animales, se de las especies animales, que se limitaba a disponer unas junto a otras las teorías que presentaban más semejanzas externas. En lugar de los compartimentos bien definidos de Álgebra, Análisis, Teoría de Números y Geometría, veremos, por ejemplo, la teoría de los números primos con la de las curvas algebraicas, o la geometría euclidiana con ecuaciones geometría euclidiana con las ecuaciones integrales; y el principio ordenador será la concepción de una jerarquía de estructuras de lo simple a lo complejo de lo general a lo particular.

En este contexto hay que leer la observación final sobre:

pág. 45 - trad. inglesa, pág. 35 - las primeras axiomatizaciones y que tuvieron mayor impacto (las de la aritmética con Dedekind y Peano Dedekind y Peano, y la geometría euclidiana con Hilbert) se referían sobre las teorías univalentes es decir, tal que el sistema global de sus axiomas los determinaba por completo, y no era 'por tanto susceptible de aplicación a ninguna teoría distinta de aquella de la que se extrajo (contrariamente a lo que hemos visto para la teoría de los grupos, por ejemplo). por ejemplo).

La axiomatización de Dedekind-Peano, así como la de Euclides-Hilbert, tiene por objeto la "caracterización unívoca" de su estructura prevista .

Según el punto de vista de Bourbaki, la noción "general" de estructura es matemáticamente más interesante y fructífera.

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Nota

La preocupación de Mathias por la escasa atención prestada por Bourbaki a la lógica matemática es correcta; véase:

pág. 37 - trad. cast. pág. 25 - Toda teoría matemática es una secuencia de proposiciones, deducidas unas de otras según las reglas de una lógica que, esencialmente, es la codificada desde Aristóteles bajo el nombre de "lógica formal", convenientemente adaptada a los fines particulares del matemático. Por tanto, es una perogrullada afirmar que este "razonamiento deductivo" es un principio de unidad para las matemáticas [...]. El modo de razonamiento por cadena de silogismos no es más que una mécanisme transformativo, aplicable indiferentemente a todo tipo de premisas, y que no puede por tanto caracterizar la naturaleza de éstas. [...] Codificar este lenguaje, ordenar su vocabulario y clarificar su sintaxis, es un trabajo muy útil, y constituye de hecho una faceta del método axiomático, la que propiamente puede llamarse la formalismo lógico (o, como se suele decir, "logística"). Pero -e insistimos en este punto- esto es sólo una parte y la menos interesante.

Como señala Mathias, Bourbaki (en 1948) parece desconocer totalmente los resultados de Gödel de 1931 en relación con la incompletitud de la aritmética y de 1940 en relación con la coherencia de la Hipótesis del Continuo y el Axioma de Elección y su repercusión en el posterior desarrollo de la lógica matemática como disciplina matemática: teoría de modelos, teoría de conjuntos, computabilidad, etc.