Deja que $I$ sea un ideal izquierdo de un anillo $R$. Demuestra que si $I$ es una suma directa entonces $I^2=I$.

Question

Sea $I$ un ideal izquierdo de un anillo $R$ con $1$. Demuestra que si $I$ es un sumando directo entonces $I^2=I$.

Definición. Un ideal $A$ es un sumando directo de un anillo $R$ si existe un ideal $B$ de $R$ tal que $R=A\oplus B

Ayúdame.

Answer 1

Si el ideal $I$ es un sumando directo de $R$, entonces hay un ideal $J$ con $R=I\oplus J$, con $I \cap J = 0$. Pongamos $1= e + f$, con $e \in I$ y $f \in J$. Entonces, $e=e\cdot 1=e(e+f)=e^2+ef$. Dado que $ef \in I \cap J$, $ef=0$, y por lo tanto $e$ es un idempotente, es decir $e^2=e$ (y de manera similar $f^2=f). Por supuesto, $I^2 \subseteq I$. Si $r \in I$, entonces $r=r\cdot1=r\cdot(e+f)=re \in I^2$.

Answer 2

Una buena lección que aprender de esto es que para anillos con identidad, los ideales izquierdos (o derechos) son sumandos si y solo si son generados por un idempotente.

Aquí tienes un boceto:

Con $R=I\oplus J$, escribimos $1=e+f$ en esta descomposición. Al multiplicar a la izquierda por $e$, descubrimos que $e=e^2+ef\in I\oplus J$. Pero $e$ ya está expresado de manera única como $e+0$, entonces $e=e^2$.

Afirmamos que $I=Re$. Si $i\in I$, entonces $i=ie+if$, pero como $i$ ya está expresado de manera única como $i+0$ en la suma, tenemos que $if=0$ y $ie=i$. Por lo tanto, $I\subseteq Re$. De manera recíproca, $e\in I$ por lo que $Re\subseteq I$.

Esto facilita demostrar que $I^2=I: $obviamente $I^2\subseteq I$, por lo que la otra contención es lo único que queda por demostrar. Pero $e=e^2\in I^2$, por lo tanto $I=Re\subseteq I^2$.