Demostrando $\sin(1/x)$ tiene una antiderivada

Question

Me gustaría probar que la función definida como sigue: $f(x)=\sin(1/x)$ $f(0)=0$ tiene una antiderivada en toda la $\mathbb{R}$ (bueno, no estoy seguro de que si yo no he redactado este torpemente, pero básicamente estoy tratando de mostrar que $f$ es un derivado de alguna función es diferenciable en todos los $x\in\mathbb{R}$).

En primer lugar, $f$ es continua en a $\mathbb{R}\setminus0$, por lo que tiene una antiderivada para cada $x\in\mathbb{R}\setminus0$. Sin embargo, $f$ no es continua en a $x=0$. Hay una manera en que podemos lidiar con eso?

Además, tengo curiosidad acerca de la importancia de $f(0)=0$. Supongamos que redefinir nuestra función, y tome $f(0)=c$, para algunos $c\in\mathbb{R}$, $c\ne{0}$. Sería entonces $f$ tiene una antiderivada en $\mathbb{R}$?

Answer 1

Debe quedar claro que la antiderivada restringido a $(0,\infty)$ tiene que ser $$ F(x) = \int_1^x \sin(1/t)\, dt + k $$ para algunas constantes de integración $k$. Este parcial $F$ tiene que tener un límite para $x\to 0^+$, o no puede ser cualquier continua total $F$, así que por probar que. Ahora podemos seleccionar $k$ tal que $F(0)=0$ $F$ continuo y que se extienden a negativos entradas por $F(-x)=F(x)$.

La función así definida es la única posible función continua (hasta a los términos constantes) que tiene el derecho derivado de $x\ne 0$, así que sea cual sea su derivada en $0$ es (si es que existe), que ha de ser el valor de $f(0)$. Entonces lo que hay que demostrar es que este derivado es en el hecho de $0$.

(Ver también Darboux teorema de la que inmediatamente se le han dicho a usted que usted no puede seleccionar una arbitraria valor de $f(0)$ y aún esperan $f$ tener una antiderivada).