Los más astutos forma para calcular el $\left[\hat{a}^{M},\hat{a}^{\dagger N}\right]$ $\left[\hat{a},\hat{a}^{\dagger}\right]=1$

Question

Quien me puede dar alguna solución elegante para

$$\left[\hat{a}^{M},\hat{a}^{\dagger N}\right]\qquad\text{with} \qquad\left[\hat{a},\hat{a}^{\dagger}\right]~=~1$$

aparte de la fuerza bruta de cálculo?

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Oh lala!!! Gracias por @Prathyush y @Qmechanic !!! Tengo el mismo resultado con Qmechanic... creo que Prathyush la sugerencia debe ser equivalente a la de mi sugerencia de la correspondencia a una transformación canónica. Aquí está mi cálculo (yo no estaba seguro de a publicarlo...)

$\begin{array}{c} \mbox{representation of }\left(\hat{a},\hat{a}^{\dagger}\right)\mbox{ on polynomial space }span\left\{ \frac{x^{n}}{\sqrt{n!}}\right\} _{n\ge0}\\ \hat{a}\left[f\left(x\right)\right]=\frac{d}{dx}f\left(x\right)\;;\;\hat{a}^{\dagger}\left[f\left(x\right)\right]=xf\left(x\right)\;;\;\left[\hat{a},\hat{a}^{\dagger}\right]\left[f\left(x\right)\right]=id\left[f\left(x\right)\right]\\ \left|0\right\rangle \sim 1\;;\;\left|n\right\rangle \sim x^{n}/\sqrt{n!} \end{array}$

$\begin{array}{c} \mbox{calculate the normal ordering }\left[\hat{a}^{M},\hat{a}^{\dagger}{}^{N}\right]\mbox{:}\\ \sim\left[\frac{d^{M}}{dx^{M}},x^{N}\right]=\frac{d^{M}}{dx^{M}}\left(x^{N}\star\right)-x^{N}\frac{d^{M}}{dx^{M}}\left(\star\right)\\ \sim\left\{ \overset{min\left\{ M,N\right\} }{\underset{k=0}{\sum}}\frac{N!}{\left(N-k\right)!}C_{M}^{k}\left(\hat{a}^{\dagger}\right)^{N-k}\left(\hat{a}\right)^{M-k}\right\} -\left(\hat{a}^{\dagger}\right)^{N}\left(\hat{a}\right)^{M}\\ \end{array}$

====================== Un comentario sobre 02-12-2012: La representación de que estaba utilizando se encuentra relacionada con Bergmann representación con el interior del producto para el espacio de Hilbert (polinomios):

$\left\langle f\left(x\right),g\left(x\right)\right\rangle :=\int dxe^{-x^{2}}\overline{f\left(x\right)}g\left(x\right)\,,x\in\mathbb{R}\,,\, f,g\in\mathbb{C}\left[x\right]$

Answer 1

La forma estándar es el uso de funciones de generación (en este caso a la coherente de los estados). Normalmente a uno le gusta la fórmula resultante para ser normal-ordenó.

1. Recordar la siguiente versión $$\tag{1} e^Ae^B~=~e^{[A,B]}e^Be^A$$ de los Baker-Campbell-Hausdorff fórmula. La fórmula (1) sostiene que si el colector $[A,B]$ viajes con los explotadores $A$$B$.

2. Poner $A=\alpha a $ $B=\beta a^{\dagger}$ donde $\alpha,\beta\in\mathbb{C}$.

3. Deje $[a, a^{\dagger}]=\hbar {\bf 1}$, por lo que el colector $[A,B]=\alpha\beta\hbar {\bf 1}$ $c$- número.

4. Ahora Taylor-ampliar la exponencial de los factores en la ecuación. (1).

5. Fija las órdenes de $n,m\in \mathbb{N}_0$, considerar los términos en la ecuación. (1) proporcional a $\alpha^n\beta^m$.

6. Deducir que el antinormal-ordenó operador $a^n(a^{\dagger})^m$ puede ser normal-ordenó como $$\etiqueta{2}^n(a^{\daga})^m~=~\sum_{k=0}^{\min(n,m)} \frac{n!m!\manejadores^k}{(n-k)!(m-k)! k!}(a^{\daga})^{m-k}^{n-k}. $$

7. Finalmente, deducir que la normal-ordenó colector es $$\etiqueta{3} [a^n,(a^{\daga})^m]~=~\sum_{k=1}^{\min(n,m)} \frac{n!m!\manejadores^k}{(n-k)!(m-k)! k!}(a^{\daga})^{m-k}^{n-k}. $$