la convolución de una función con ella misma es igual a ella misma

Question

En una pregunta de los deberes, me pidieron que demostrara: (1) en $L^1(R)$ , si $f*f = f$ entonces $f$ debe ser una función nula. (2) En $L^2(R)$ , encontrar una función $f*f=f$ . No sé cómo proceder.

para (1), $f*f=f$ da $\widehat{f*f}=\hat{f}$ que es igual a $\hat{f}\cdot\hat{f}=\hat{f}$ pero esto no garantiza el resultado. Intenté demostrar por contradicción, sin éxito. Para (2), no sé dónde proceder. ¿Hay alguna ayuda que pueda obtener? Gracias.

Answer 1

Para $(i)$ , $\hat{f}\cdot\hat{f}=\hat{f}$ implica que $\hat{f}(\xi) \in \{ 0,1 \}$ para todos $\xi$ .

Ahora utiliza el hecho de que $\hat{f}$ es continua.

Para $2$ Intenta resolver el problema al revés. Intenta encontrar algún $g \in L^2(\mathbb{R})$ para que $g(x) \in \{ 0,1 \}$ y cuyo FT tiene un valor real.

Answer 2

Pistas: Para (1), estás en el camino correcto.. también usa eso $\hat{f}$ es continua. Para (2), intente definir $\hat{f}$ en lugar de $f$ . Por lo tanto, se necesita un $L^2$ igual a su cuadrado....