Suma exacta de la serie

Question

Soy un tutor en la universidad, y uno de mis estudiantes me trajo a esta pregunta, que yo era incapaz de trabajar. Es a partir de un pasado en el examen final de cálculo II, por lo que cualquier respuesta debe ser muy básica, en lo que la maquinaria que se utiliza, aunque puede ser complicado. La serie es: $$\sum \limits_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n+3)(3^n)}.$$

Normalmente soy bastante bueno con una serie infinita. Es lo suficientemente claro para mí que esta suma converge. Ninguno de los obvio reordenamientos dado nada, y yo no podía llegar con cualquier smart trucos en el tiempo que hemos tenido. Yo las puse en Wolfram y tiene una muy sorprendente respuesta de hecho. Wolfram informes el valor será de $\frac{1}{6}(16-3\sqrt{3} \pi$. Esto se hace uso de algo que ella llama la "Lerch Trascendente" (enlace aquí acerca de Lerch). Después de mirar alrededor, creo que tal vez puede entender como la suma se hace, si usted sabía acerca de este tipo y en especial de los valores que toma.

Pero ¿cómo podía hacerlo como un cálculo II estudiante, nunca había visto nada como esto monstruosidad antes?

Answer 1

Tenga en cuenta que podemos escribir la suma de $f(1/3)$ donde

$$f(x)=x^{-3/2}\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n\frac{\left(\sqrt{x}\right)^{2n+3}}{2n+3}\tag 1$$

Ahora, denotan la serie en $(1)$ $g(x)$. Entonces, tenemos

$$g'(x)=\frac12\sqrt{x}\,\,\sum_{n=1}^\infty (-1)^n x^n=- \frac{x^{3/2}}{2(x+1)} \tag 2$$

La integración de ambos lados de $(2)$ rendimientos

$$g(x)=-\frac13 \sqrt{x}(x-3)-\arctan(\sqrt{x}) \etiqueta 3$$

Ahora, simplemente, sustituir $g(x)$ en $(3)$ en $(1)$ y evaluar en $x=1/3$. Procedimiento, nos encontramos con

$$f(1/3)=\frac83-\frac{\pi\sqrt{3}}{2}$$

Answer 2

dependiendo de la serie geométrica $$\frac{1}{1+x}=\sum_{n=0}^{\infty }(-1)^nx^n$$ $$\frac{1}{1+x}-1=\sum_{n=1}^{\infty }(-1)^nx^n$$ $$\frac {x}{1+x}=\sum_{n=1}^{\infty }(-1)^nx^n$$

$x\rightarrow x^2$ $$\frac {x^2}{1+x^2}=\sum_{n=1}^{\infty }(-1)^nx^{2n}$$

multiplicar por $x^2$ $$\frac {x^4}{1+x^2}=\sum_{n=1}^{\infty }(-1)^nx^{2n+2}$$ $$\int_{0}^{x}\frac {x^4}{1+x^2}dx=\int_{0}^{x}\sum_{n=1}^{\infty }(-1)^nx^{2n+2}dx$$ $$x-x^3/3-\bronceado^{-1}(x)=\sum_{n=1}^{\infty }\frac{(-1)^nx^{2n+3}}{2n+3}$$ dividir por $x^3$ $$1/x^2-1/3-\bronceado^{-1}(x)/x^3=\sum_{n=1}^{\infty }\frac{(-1)^nx^{2n}}{2n+3}$$

ahora vamos a $x=\frac{1}{\sqrt{3}}$ $$\sum_{n=1}^{\infty }\frac{(-1)^n}{(2n+3)3^n}=\frac{8}{3}-\frac{\sqrt{3}\pi}{2}$$

Answer 3

Creo que se puede llegar desde \tan^ ${-1} (x) = \sum_ {n = 0} ^ {\infty} \frac {(-1) ^ n} {2n + 1} x ^ {2n + 1}$.

Sustitución $n = m + 1$ para obtener

$$\sum_ {m =-1} ^ {\infty} \frac {(-1) ^ {m + 1}} {2 m + 3} x ^ {2 m + 3}.$$

Luego sustituir $x = \frac {1} {\sqrt {3}}$.

Debe generar $-3\sqrt{3}(\tan^{-1}\frac{1}{\sqrt3}-\frac13)$.

O algo por el estilo.

Answer 4

$$\begin{align} y f(x)=\sum_{k=1}^{\infty}x^{2n+2}=x^4\sum_{k=0}^{\infty}x^{2n}=\frac{x^4}{1-x^2}\\ Y F(x)=\int f(x) dx=\frac{-x(x^2+3)}3+\frac{\ln {\frac{1+x}{1-x}}}2=\sum_{k=1}^{\infty}\frac{x^{2n+3}}{2n+3}\\ Y G(x)=\frac{F(x)}{x^3}=\sum_{k=1}^{\infty}\frac{x^{2n}}{2n+3}=\frac{-(x^2+3)}{3x^2}+\frac{\frac1x\ln {\frac{1+x}{1-x}}}{2x^2}\\ &G\left(\frac{i}{\sqrt3}\right)=\sum_{k=1}^{\infty}\frac{\left(-\frac13\right)^n}{2n+3}=\frac{-(-\frac13+3)}{-1}+\frac{\frac{\sqrt3}{i}\ln {\left(\frac{\sqrt3+i}{2}\right)^2}}{2\cdot\left(-\frac13\right)}\\ &=\frac83-\frac{3\sqrt3}{i} \ln\left(e^{\frac{\pi i}6}\right)=\frac83-\frac{\sqrt3\pi}2 \end{align}$$