¿Cuál es el radio del horizonte de sucesos?

Question

Sé que el radio de Schwarzschild es dada por

$$r~=~\frac{2GM}{c^{2}}.\tag{1}$$

Sin embargo, Si tuviéramos la métrica

$$ds^2~=~−A(r,t)dt^2+\frac{dr^2}{B(r,t)}+r^2(dθ^2+\sin^2{θ}dϕ^2),\tag{2}$$

donde

$$A(r,t)~\neq~(1−\frac{2GM}{c^2r})\tag{3}$$

y

$$B(r,t)~\neq~(1−\frac{2GM}{c^{2}r}),\tag{4}$$

entonces, ¿cuál es el horizonte de sucesos?

Answer 1

Vamos a empezar con lo que queremos decir con un horizonte:

El horizonte de sucesos de un asintóticamente plano espacio-tiempo es el límite entre los eventos a partir de la cual un futuro que apunta a null geodésica puede llegar futuro null infinito y los eventos en los que no hay tal geodésica existe.

Un null geodésica es el camino seguido por un rayo de luz, por lo que el horizonte de las marcas de la superficie en la que la luz no puede escapar al infinito. Así que lo que tenemos que hacer es mirar las trayectorias seguidas por los rayos de luz y encontrar donde quedan atrapados.

En este caso la simetría esférica hace que el problema es fácil, porque radial rayos de luz será normal hasta el horizonte. Así que sólo podemos ver por la radio en la que las coordenadas de la velocidad de la luz radial rayos es cero. Para una trayectoria radial $d\theta = d\phi = 0$, y la métrica se convierte en:

$$ ds^2=−A(r)dt^2+\frac{dr^2}{B(r)} $$

Y sabemos que para la luz de la $ds = 0$, por lo que obtenemos la ecuación:

$$ 0 = −A(r)dt^2 + \frac{dr^2}{B(r)} $$

lo que nos da:

$$ \frac{dr}{dt} = \sqrt{A(t)B(t)} $$

El lado izquierdo $dr/dt$ es la de coordinar la velocidad del rayo de luz, así que la ubicación del horizonte de eventos es donde esto es igual a cero:

$$ \sqrt{A(t)B(t)} = 0 \tag{1} $$

Por ejemplo, la métrica de Schwarzschild ha $A(t)$ $B(t)$ igual a:

$$ A(t) = B(t) = 1 - \frac{2GM}{c^2r} $$

y de la ecuación (1) se convierte en:

$$ 1 - \frac{2GM}{c^2r} = 0 $$

el que tiene la solución ya sabemos:

$$ r = \frac{2GM}{c^2} $$

Cualquier persona interesada en esta área puede desear mirar en Anónimo " anterior pregunta sobre el tema como mi respuesta a que proporciona más detalles sobre lo que la métrica nos dice.

Nota a pie de página:

Michael Seifert señala que el análisis que he dado anteriormente sólo es aplicable cuando la métrica de tiempo es independiente de decir al $A$ $B$ son funciones sólo de $r$ y no de $t$. Este tipo de métrica se llama estática en el espacio-tiempo.

Mi análisis se basa en encontrar el valor de $r$ para que la coordenada de la velocidad es cero, pero en una no-estática en el espacio-tiempo de la coordenada de la velocidad en un determinado valor de $r$ puede ser cero en algún momento, pero no cero en otros tiempos, y viceversa, y mi argumento no se aplica.

Encontrar la ubicación del horizonte de eventos en un tiempo dependiente en el espacio-tiempo es un problema complejo, y yo no puedo dar una simple respuesta como una función de $A$$B$. Si usted está interesado hay un artículo en la búsqueda de horizontes en la Vida de Revisiones en la Relatividad sitio web. Esto es en el contexto de soluciones numéricas en lugar de analítica, pero aún así da una buena idea de lo que se requiere.

Answer 2

Realmente, para responder a esto con cuidado, tenemos que pensar a través de lo que es un horizonte. Y en general el espacio-tiempo, existen diferentes nociones de horizonte, y el "horizonte de sucesos" es probablemente el más difícil de ellos para trabajar.

La definición formal de "horizonte de sucesos", dice "Vamos a ir a un futuro lejano, tomar cada libremente la caída en el camino que se cruza con una singularidad, y, a continuación, averiguar el pasado de esos caminos. El límite exterior de ese conjunto de rutas es el horizonte de sucesos." Por lo tanto, si hay dinámicas para el espacio-tiempo, puede ser una complicada pregunta acerca de si i"m hacia el interior del horizonte de sucesos. Usted puede incluso construir spacetimes donde no son completamente geométricamente regiones planas que están dentro del evento horizontes!

En su lugar, vamos a relajar este, y mirar algo que es más física y locales de este. Vamos a llamar el "horizonte aparente". Para definir esto, vamos a ver dos vectores tangente de senderos de luz a través del espacio-tiempo. Vamos a llamarlos $\ell^{a}$$k^{a}$, y vamos a decir que $\ell_{a}k^{a} = -1$ (esto siempre se puede hacer multiplicando $k_{a}$ por una constante número). Entonces, estos dos vectores se define una superficie de dos dimensiones que es perpendicular a la tangente direcciones, y se han submetric $q_{ab}$. Entonces, la aparente horizonte de cualquier superficie cerrada que satisface $q^{ab}\nabla_{a}\ell_{b} = 0$ $q^{ab}\nabla_{a}k_{b} < 0$ (estrictamente, usted necesita algunas condiciones en los derivados de estos chicos, pero tengo la sensación de que me"m ya esta complicando demasiado).

Esto se ve muy mathy, pero lo que nos dice es que para esta superficie, el rayo de luz $\ell^{a}$ sólo espacialmente se cierne en el lugar, ni de caer en el horizonte, ni escapar de ella, mientras que el rayo de luz $k^{a}$ apunta hacia otra superficie con área menor. La superficie es concentrar el rayo. Lo que esto nos dice es que lo mejor que puedes hacer en esta superficie es ser un rayo de luz que no se caiga en la. Todos los otros caminos van hacia el interior de la superficie. Por lo tanto, en general el espacio-tiempo, usted sólo tiene que ejecutar su métrica a través de este procedimiento, y encontrar aparente horizontes. Puedes probar por ti mismo (si usted sabe lo suficiente geometría diferencial) que la aparente horizonte de espacio-tiempo de Schwarzschild cooresponds exactamente con el conocido horizonte de sucesos.

Answer 3

Ya hay una buena respuesta de John Rennie.

1. Aquí nos limitaremos a mencionar que si el esféricamente simétrica métrica (2) se supone para ser una solución de vacío para ecuaciones de campo de Einstein con $\Lambda=0$, entonces el teorema de Birkhoff muestra que la métrica (2) [después de un posible reparametrization de la hora de coordinar $t$] es exactamente la métrica de Schwarzschild. Ver, por ejemplo, este Phys.SE post. En particular $$B(r,t)~=~1-\frac{R_S}{r}$$ is automatically satisfied for some length parameter $R_S$. Por lo que es fácil identificar el horizonte de sucesos en el caso (2). Es secreto sólo el espacio-tiempo de Schwarzschild, cuya estructura causal asumimos OP ya saben.

2. Por otro lado, el general de Lorenz espacio-tiempo colectores $(M,g)$, es un no-trivial para determinar evento horizontes, en parte debido a que son globales (frente a local) de las propiedades de los colectores ("Clásicamente, no se siente nada especial al cruce de un horizonte de sucesos").